抽象函数问题类型及解题策略

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1、抽象函数问题类型及解题策略湖北省枣阳市鹿头中学田伟抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数。解决抽象函数问题，需要由条件去判断或推出该函数的性质（单调性，奇偶性，周期性），从而达到解题的目的。由于抽象函数问题具有概念抽象、隐蔽性与灵活性强、综合性高的特点，使得这类问题成为函数内容的难点之一。在中学数学教材中，可以找到不少所涉及到的抽象函数的具体函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的若干性质的证明途径，特别是填空题、选择题，直接用具体函数求解，得出答案即可

2、。常见的抽象函数模型有：(1)线性函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,bD,有f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为：f(x)=kx.(2)指数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,bD,有f(a+b)=f(a)×f(b),则其模型为：f(x)=ax.(3)对数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意a,bD,有f(ab)=f(a)+f(b)，则其模型为：f(x)=logax.对于抽象函数问题，常常涉及到函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性问题，其解题策略常常是利用特殊值

3、（或特殊函数）开路，利用性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）搭桥，使问题迎刃而解。下面列举几例抽象函数问题类型：一、定义域问题解题思路：将函数f(x+k)、f(x-k)中括号内的式子看作一个整体，相当于f(x)中的x这一特性，问题就会迎刃而解。-4-二、求函数值问题例2、函数f(x)的定义域为R+，若f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,求f(2).分析：f(8)=f(4+4)=2f(4)=4f(2)=3所以f（2）=解题思路：紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代

4、过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。三、单调性问题解题思路：根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。四、奇偶性问题例4已知函数的定义域为R，对任意x、y满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.分析：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0，又令y=﹣x，f(x)+f(﹣x)=f(x﹣x)=f(0)=0，即f(﹣x)=﹣f(x)，∴f(x)是奇函

5、数，再设x1、x2∈R，且x10，∴f(x2﹣x1)>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(﹣∞.+∞)上是增函数.解题思路：根据已知条件，通过恰当的赋值代换（赋值常从以下几方面考虑：①令x=…，﹣2，﹣1，0，1，2，…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=，

6、且x1

7、根两两关于直线x=3对称，由中点坐标公式知任一对根的和为6，所以6根之和为18.-4-