抽象函数解题策略.doc

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1、抽象函数的解题策略抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它在高中数学教材中没有涉及到，但在各类高考模拟试题中常常见到。该类问题比较抽象，考察学生能力，学生普遍感到束手无策，本文就抽象函数问题解题策略作一探讨。1.画示意图例1.已知是R上的奇函数，在区间上递增,又，则的解集是（）解：根据题设条件可画出函数的示意图，如图1，2.利用函数方程思想例2.已知函数的定义域是一切非零实数，且满足.求的表达式解：将原式中的用替换，得,再与原式联立，消去后，解得.3.运用特殊与一般的数学思想例3.是否存在这样的函数，使下列3个条件：（1）（2）；（3）同时成立？若存在，

2、求出的解析式，若不存在，试说明理由。解：若存在，由条件（1）、（2）、（3）得，又，，，，由此猜想：。下面用数学归纳法证明此猜想。（1）当时，猜想显然成立。（2）假设当（）时命题成立，即，那么当时，，猜想也成立。综上所述，存在函数对成立。第3页共3页注：从特殊入手，归纳出一般的结论，进而用数学归纳法证明正确性，体现了从特殊到一般的归纳思想意识。当满足性质的难于求出时，注意本题是填空题，故采用一般问题特殊化的策略求解。4.利用函数的性质例4.已知函数的定义域为，对任意都满足，当时，又对所有均成立，求实数的取值范围。解：令，得。令，得，是奇函数，设，则，，是增函数。由，得，，由单调性，得，

3、。可以求得时，的最大值是。故的取值范围是。注：充分挖掘函数的奇偶性、单调性等性质，并利用单调性是脱去抽象函数符号的关键，实现了从抽象函数不等式向具体函数不等式的转化。5.类比联想模型函数例5.如果，且，则的值为（）（A）1999(B)2000(C)2001(D)2002解：以为模型函数，6.正难则反的思想例6.已知函数在区间上是增函数，。（1）证明：若，则。（2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论。证明：（1）由，得，由于在上是增函数，得，同理，从而成立。（2）逆命题：若，则。此逆命题是真命题。证明如下：假设，得，，由单调性，得，从而，与条件相矛盾，故不成立，即成立，因此

4、，此逆命题是真命题。第3页共3页7.利用性质和结论例7.函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，这三个实根的和是。解：因为对任何，有，所以函数的图象关于对称。又有3个实根，这表示的图象在轴上有3个不同的交点，根据对称性可知，其中必有一个交点的横坐标恰是，而另外两个交点关于对称，所以3个实根的和是。注：适当地归纳所学的基本知识，并记忆一些常用性质和结论是提高解题能力的基础。一般定义在上的函数，若，则函数的图象关于直线对称。8.整体思想例8.已知都是奇函数，（为常数）。若，则。解：设，则。由题设可知为奇函数，即，即，故.总之，抽象函数问题，往往综合性强，解题方法灵活。只有不断地挖掘隐含条

5、件，充分考虑函数的单调性、周期性等众多性质，树立八种常见的数学意识，才能找到有效的解题途径，取得好的效果。第3页共3页