抽象函数问题的题型与解题策略（讲义）.doc

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1、7竞赛辅导之《抽象函数问题的题型与解题策略》第页第六讲：抽象函数问题的题型与解题策略所谓抽象函数，是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数。解决这类问题，需要我们由条件去判断或推出该函数的性质（单调性，奇偶性，周期性），从而达到解题的目的。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。解答这类题目，要求学生思维灵活，深刻，善于联想。面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳

2、出抽象函数的实质问题。解答抽象函数题目有两招：“找模型”，“分类型”。一、“找模型”.在中学数学教材中，大多都能找到所涉及到的抽象函数的具体函数模型。虽不能用它来代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的若干性质的证明途径，特别是不需解题过程或证明过程的填空题、选择题，直接用具体函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有：(1)、线性函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,bD,有f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为：f(x)=kx.(2)、指数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,

3、bD,有f(a+b)=f(a)×f(b),则其模型为：f(x)=ax.(3)、对数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意a,bD,有f(ab)=f(a)×f(b)，则其模型为f(x)=logax.(4)、三角函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,bD,有f(a+b)=2，则其模型为：f(x)=cosx.（模型还很多，这里不再一一赘述）。二、分类型。常见的有以下的类型：（一）、f[g(x)]≥(≤)f[h(x)]型，（其中g(x)与h(x)都是关于x的确定解析式）。(二)、f[g(x)]≥(≤)

4、a型，（其中g(x)是关于x的确定解析式，a为常数）。[范例与方法]一、求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。(或逆向问题)正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例1.（1）数的定义域为，则函数的定义域是.（2）知的定义域为，则的定义域是___.7竞赛辅导之《抽象函数问题的题型与解题策略》第页二、求函数值

5、问题这类问题要紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例2、（1）已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。（2）已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值。（3）定义在R上的函数满足：且，求的值。（4）已知上有意义且为增函数，并且满足，则(5)、函数f(x)定义在整数集上，且满足，则。（6）设的函数，对于任意正实数x，，求①的值；②求最小的实数x,使得（7）设的定义域是N,且同时满足①

6、②求.三、解析式问题7竞赛辅导之《抽象函数问题的题型与解题策略》第页例3、（1）、已知，则=.(2）、已知函数f(x)是二次函数，且，求函数f(x)和g(x)的表达式.(3）、设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1，f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求f(x).(4)、设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。(5)、设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数四、单调性及单调区间问题这类问题根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例4、（

7、1）如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是（）A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为（2）设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。（3）已知为偶函数，且当时单调递减，求函数的单调递增区间。评注：（1）讨论复合函数单调性时，要注意内层函数值域必须是外层函数的定义域的子集。（2）单调区间有两个及其以上时不能用“”表示。7竞赛辅导之《抽象函数问题的题型与解题策略》第页五、奇偶性问题这类问题要根据已知条件，

8、通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例5（1）已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。练习：若函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。（2）若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。六、值域问题例6（1）已知函数对任意实数都有，且当时，，求在上的值域。（2）设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。七、比较函数值大小这类问题要利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区