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1、抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：%1.求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。例1定义在日上的函数/(尤)满足：/(%)=/(4-x)5./(2-x)+/(%-2)=0,求/(2000)的值。例2已知函数
2、/(X)对任意实数X,yW/(x+y)=/(x)+/(>9,且当x>0时，/(x)>0,/(-1)=-2,求f(x)在［一2,1］上的值域。%1.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3已知八1)是定义在(-1,1)上的偶函数，旦在(0,1)上为增函数，满足/(6/-2)-/(4-672)<0，试确定Q的取值范围。例4己知/*(］)是定义在(一8,1］上的减函数，若f(m2-sinx)<1+cos2x)对xeR恒成立，求实数刀的取值范围。%
3、1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过函数的单调性去掉函数符号“/”，转化为代数不等式求解。例5已知函数/(x)对任意x,yeR有/(x)+/(y)=2+/(］+y),当x>0时，f(x)>2,/(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<3的解集。%1.证明某些问题例6设/(x)定义在R上且对任意的尤有/W=/(^+l)-/(x+2)，求证：/")是周期函数，并找出它的一个周期。例7已知/(x)对一切X,y,满足,'(0)。0,f(x4-y)=/(x)-f(y),旦当x<0时,/(x)>1,求证：(1)x>0时，Ovf(x)vl
4、；(2)/(x)在R上为减函数。%1.综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号。例8设函数y=f(x)定义在1?上，当工>0时，./'(工)>1,且对任意s,n,有/(〃?+〃)=/(m)•/(/?),当mQn时/(m)。f(n)o(1)证明/(O)=1；(2)证明：fCx)在R上是增函数；(3)设A=[(x,>9l/(x2)•/(/)
5、f(or+Z?y+c)=
6、1,a,b,cgR,。。0},若ACB=0,求sb,c满足的条件。例9定义在(一1,1)上的函数/(x)满足(1),对任意x,y€(-l,1)都有/3+.心)=/(广)，1+a>'(2)当x€(-1,0)时，有/(x)>0,(1)试判断/*(])的奇偶性；(2)判断/(x)的单调性；(3)求证尾)+/(二)+...+/(__)>/(I)o511/广+3〃+12
