高考数学综合复习(十)抽象函数问题的题型综述.doc

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1、高考数学综合复习（十）抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一.求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。例1定义在R上的函数满足：且，求的值。解：由，以代入，有，为奇函数且有又由故是周期为8的周期函数，例2已知函

2、数对任意实数都有，且当时，，求在上的值域。解：设且，则，由条件当时，又为增函数，令，则又令得，故为奇函数，，上的值域为二.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，由得。（1）当时，，不等式不成立。（2）当时，（3）当时，综上所述，所求的取值范围是。例4已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。解：

3、对恒成立对恒成立对恒成立，三.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例5已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。解：设且则，即，故为增函数，又因此不等式的解集为。四.证明某些问题例6设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。证明：得由（3）得由（3）和（4）得。上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。例7已知对一切，满足，且

4、当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。证明：对一切有。且，令，得，现设，则，，而，设且，则，即为减函数。五.综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。例8设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明；（2）证明：在R上是增函数；（3）设，，若，求满足的条件。解：（1）令得，或。若，当时，有，这与当时，矛盾，。（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由（3）由得由得（

5、2）从（1）、（2）中消去得，因为，即例9定义在（）上的函数满足（1），对任意都有，（2）当时，有，（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；（3）求证。分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。解：（1）对条件中的，令，再令可得，所以是奇函数。（2）设，则，，由条件（2）知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数。（3）抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困

6、惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。1.求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。例1.函数的定义域为，则函数的定义域是___。分析：因为相当于中的x，所以，解得或。例2.已知的定义域为，则的定义域是______。分析：因为及均相当于中的x，所以(1)当时，则(2)当时，则2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例3.已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函数。例4.若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。

7、证明：设图象上任意一点为P（）与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上，又即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。3.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例5.如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。图1例6.已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下：任取因为在上是减函数，所以。又是偶函数，所以

8、，从而，故在上是增函数。