高考数学复习点拨 攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型.doc

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1、攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型抽象函数是没有给出函数的具体解析式，只给出函数的抽象表达关系式，利用这些关系式解题；分段函数是将函数的定义域分成若干个子区间，不同的子区间有不同的表达式．由于这两类函数表达形式比较特殊，使得这类问题成为函数内容的难点，而这两类函数在函数内容又占重要位置，本文就这两类函数对其常见的题型归纳评析如下：一、确定解析式问题例1已知y=f(x)满足，其中a、b、c都是非零的常数，a≠±b，求函数的解析式．【分析】y=f(x)没有具体结构，条件中的a、b、ca、b、c都是

2、已知的常数，不可用待定系数法去求解．本题可用，转化出另一个式子，采用解方程组的办法求解．【解析】∵，以代换x得：，联立两式消去f()得：．∵，∴．【点评】从所给式子出发，看成一个变式，把x换成以后得到方程组，故视f(x)为一个未知量，解之得f(x)，称此法为“函数方程法”．求抽象函数解析式这是常用的方法．例2设f(x)是定义域为R的函数，且满足f(－x)=－f(x)，当x∈[0，+∞时，，求f(x)的解析式．【分析】利用f(－x)=－f(x)求（－∞，0）上的表达式即可．【解析】∵f(－x)=－

3、f(x)，又当x＜0时，－x＞0，由已知，∴，则（x＜0，∴．【点评】给出某区间上的表达式，求对称区间上的表达式时，常常应用f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)进行转化．用心爱心专心二、求函数值问题例3函数f(x)定义在正整数集上，且满足：f(1)=2002和f（1）+f（2）+……+f（n）=f（n），则f(2002)的值为__________．【分析】首先根据所给的条件求出f（n）的表达式，在求值．【解析】由f（1）+f（2）+…+f（n）=f（n），得：f（1）+f（2）+…+f（

4、n－1）=f（n－1），两式相减得：f（n）=f（n）－f（n－1）（n≥3），变形得：（n≥3），由得：，又f(1)=2002，于是有，∴，故f(2002)=．【点评】由f（n）=f（n）－f（n－1）（n≥3）推出f（n）的表达式，整个运算过程，都需要有一定的观察分析能力，善于从式子结构出发，向下进行，进而求出f(2002)．例4已知函数，若f(x)=10，求x=_________．【分析】首先确定用那一部分的函数表达式求解x，从f(x)=10可以看出，要求函数的值是正数，故不用f(x)=－

5、2x（x＞0）．【解析】由于f(x)=10＞0，而当f(x)=－2x（x＞0）时，f(x)＜0，于是应用，令=10，x=±3，由于x＜0，故x=－3．三、定义域与值域问题例5已知函数y=f(2x+1)的定义域是[0，1]，求y=f(x)的定义域．【分析】函数y=f(2x+1)的定义域是[0，1]，是指解析式中x的取值范围，2x+1不是自变量，而是中间变量，f(2x+1)中的中间变量相当于f(x)中的x，所以此题是已知x∈[0，1]，求2x+1的取值范围．用心爱心专心【解析】∵函数y=f(2x+1

6、)的定义域是[0，1]，∴0≤x≤1，∴1≤2x≤3，∴函数y=f(x)的定义域是[1，3]．【点评】若已知函数y=f(x)的定义域为[a，b]，求y=f(g(x))的定义域，只需将g(x)代换为x，解不等式a≤g(x)≤b，，求出x的集合即为y=f(g(x))的定义域；若已知y=f(g(x))的定义域为[a，b]，求函数y=f(x)的定义域，只要求出y=g(x)，x∈[a，b]，的值域即为y=f(x)的定义域．例6已知函数，求其定义域和值域．【分析】求分段函数的定义域只要将各段的子区间取并集；

7、求分段函数的值域需要分段求出值域，在取并集．1－1【解析】，由于[－1，1]∪(1，+∞)∪(－∞，－1）=R，可知，定义域为R．当x∈[－1，1]时，，f(x)∈[0，1]；而当x∈（1，+∞）∪（－∞，－1）时，f（x）=2，因此函数的值域为：[0，1]∪{2}．四、函数性质问题1、单调性例7已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x∈R，均有f(x+x)=f(x)+f(x)，且对任意x＞0，都有f(x)＜0，f(3)=－3．（1）证明函数y=f(x)是R上的单调减函数；（2）试求函数y=f

8、(x)在[m，n]（m，n∈Z且mn＜0＝上的值域．【分析】利用函数的单调性的定义证明；由（1）的结论可知f(m)、f(n)分别是函数y=f(x)在[m，n]上的最大值与最小值，故求出f(m)与f(n)即可得所求函数的值域．【证明】（1）任取、，且＜，，由题设f(x+x)=f(x)+f(x)，可知，∵＜，∴－＞0，∴用心爱心专心f(－)＜0,∴＜，故y=f(x)是R上的单调减函数．（2）由于y=f(x)是R上的单调减函数，∴y=f(x)在[m，n]上也是单调递减函数，∴y=f(x)的最大值为f(