抽象函数问题的题型与解题策略

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1、抽象函数问题的题型与解题策略所谓抽象函数，是指没有给岀具体的函数解析式，只给岀一些特殊条件或特征的函数。解决这类问题，需耍我们由条件去判断或推出该函数的性质(单调性，奇偶性，周期性)，从而达到解题的目的。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点解答这类题目，要求学生思维灵活,深刻，善于联想。面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体：②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽彖函数的实质问题。解答抽彖函数题冃冇两招：“找模型”，“分类型”。一、“找模型”•在屮学数学教材屮，大多都能找到所涉及到的抽象函数的具体函数模型

2、。虽不能用它来代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的若干性质的证明途径,特别是不需解题过程或证明过程的填空题、选择题，直接用具体函数求解，得出答案即可。常见的抽彖函数模型有：(1)、线性函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,beD,有f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为:f(x)=kx.(2)、指数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,beD,有f(a+b)二f(a)Xf(b),贝lj其模型为:f(x)二a：(3)、对数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意a,beD,有f(ab)二f(a)Xf(b),贝U其模型为f(x)=lognx.(4)、三角函数模型。若f(

3、x)定义域为D,对任意的a,beD,有f(a+b)=2，则其模型为：f(x)二cosx.(模型还很多，这里不再一一赘述)。二、分类型。常见的有以下的类型：(一)、f[g(x)]2(W)f[h(x)]型，(其中g(x)与h(x)都是关于x的确定解析式)。(二)、f[g(x)]鼻(W)a型,(其屮g(x)是关于X的确定解析式，a为常数)。[范例与方法]一、求定义域例1.(1)数y=f(x)的定义域为(—00,1],贝ij函数y=/[log2(x2-2)]的定义域是.(2)知/0)的定义域为(0,1),则y=/(x+a)+f(x-a)(a＜的定义域是二、求函数值问题例2、(1)已知定义

4、域为的函数f(x),同时满足下列条件:①/(2)=1,/(6)=-；②/(x-y)=/(x)4-/(y)，求f⑶,f⑼的值。(2)已知/(兀)是定义在R上的函数，且满足:/(x+2)[1-/(%)]=1+/(%),/(2)=2008,求/(2006)的值。(3)定义在R上的函数/(兀)满足:f(x)=f(4-x)nj(2-x)+/(x-2)=0,求/(2008)的值。(4)己知/⑴在(0,+oo)上有意义且为增函数，并且满足/(%)•/[/«+-]=1,则x/(!)=(5)、函数fU)定义在整数集上,且满足f(n)=n-3(/?>1000)/[/(刃+5)]Sv1000)则/(100

5、)=(6)设f:RJR七的函数,对于任意正实数x,f(3x)=3/(x),1/(x)=1-12-xI,(l

6、足/(%)+/(—)=1+兀,求f(x)x的解析式。四、单调性及单调区间问题这类问题根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例4、(1)如果奇函数于(无)在区间[3,7]上是增函数且有最小值为5,那么/(x)在区间[-7,—3]上是()A.增函数且最小值为-5C.减函数且最小值为-5B.增函数且最人值为-5D.减函数且最大值为-5(2)设f(x)定义于实数集上，当无〉0吋，/(x)>1,且对于任意实数x、y,有/(x+y)=求证:/(%)在R上为增函数。(3)已知于(力为偶函数，且当Xg(-00,0)单调递减，求函数y=f(2x-x2)的单调递增

7、区间。例5(1)已知函数/(%)(%€/?,20)对任意不等于零的实数州、兀2都有f(X•x2)=/(xI)+f(x2)，试判断函数f(x)的奇偶性。练习：若函数/(x)(xe/?,XH0)对任意不等于零的实数坷、兀2都有/(X]+x2)=/(%))+f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性。(2)若函数y=f(x)(f(x)^O)与)，=-f(x)的图象关于原点对称，求证:函数y=f(x)是偶函数。六、值域问题例6(1)已知函数/(兀)对任意实数兀,y都