资源描述：
《例谈抽象函数常见类型与解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈抽象函数常见类型与解题策略■中学数学论文例谈抽象函数常见类型与解题策略张会宾(藁城市第九中学，河北石家庄052160)摘要:在高中数学学习中抽象函数是一个重要概念也是学生学习的难点,所谓抽象函数，是指没有给出具体的函数解析式，只给岀一些特殊条件或特征的函数。解决这类问题，需要我们由条件去判断或推出该函数的性质(单调性，奇偶性,周期性)，从而达到解题的目的。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性,学生在解决这类问题时,往往感到无从下手,正确率很低。笔者就这类问题中常见题型谈谈自己的看法。关键词:抽象函数；常见类型；解题策略中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-
2、6351(2013)-07-0023-01一、抽象函数奇偶性问题这类问题要根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f(・x)的关系。例1:(1)已知函数f(x)(xeR,XH0)对任意不等于零的实数xl、x2都有f(xl-x2)=f(xl)+f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性。(2)若函数f(x)(xWR,XH0)对任意不等于零的实数xl、x2都有f(xl+x2)=f(xl)+f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性。解析：(1)令f(x)的定义域是x/0的一切实数，令xl二x2二xf(xl+x2)=f(xl)+f(x2)(1)所以,f(x2)=2f(x)(2)令xl=x2=
3、-xz代入⑴得:f(x2)=2f(-x)(3)将(2)代入⑶得:f(x)=f(-x),所以，f(x)为偶函数(2)证明：f(x)的走义域是XHO的一切实数，令xl二x2二xf(xl+x2)=f(xl)+f(x2)(1)所以,f(2x)=2f(x)(2)令xl=2x,x2=-x代入⑴得:f(x)=f(2x)+f(-x)(3)将(2)代入⑶得:-f(x)=f(-x)所以，f(x)为奇函数二、单调性问题抽象函数的单调性问题多用定义法解决,这类问题要充分利用题中所给的条件结合函数单调性定义来判断。例3:设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)二f(x)+f(y),若xO时f(x)O，且f
4、⑴二求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.靄^:二一十.srzrwr.:〈-家心严Ct•-=.疔-=-.7
5、?+XI)===4IX-)+0X1)AylHl)・(・・・3—XIV0-.JH2—XI)Ao-5SX)汐/?S篦去選・Av?)空—3.3〕s£汁注匕/■(3)h/u)+、2)mm二);6更僉芝—3)9JHno-WS0)Ho•:;、H—A■r<,〔—A-<(X)<(0)nO&=H)W<®饗・・.—3)；s(3)H6・塗4:r;尸?0-+8二一八J_汽一;?n."二•；/-/,〔n;J--_11/」.；二L二jXVI=js(x)A0-尊X二rfex•ym(0■+oc)・亠八wx
6、(鑒盘：一工§y^y)/A0(划)+、?)』=>、％+f)/A、?A7)HH心CCMc.r・三二乂X2)1、〔V)==>—^・••-*一-IJ,_上)q(卜)X】s&og$・sexf<0二mF)—、?"Ao•裟遥選XIyx)*(0・+8二.•q.-'sfeFr召>2+)、2wuKA73爪、~L)・Jxyfxy为且仅当X=/时等号成工)，因此aW圧所以0WuW•圧三、周期性问题这类问题比较抽象•在解题时要充分观察和分析题中所给条件通过变换得到关系式/(«)=/(«+?)即可判定函数的周期例5：已知函数/(x)满足/(1>)=/(.V+y•+/'t->M^yeR),则/(2010)=.I
7、1：1Ra=1.z=0得/(O)-取X=n,y=1,有y(n)=/(n♦1)+/(n-1),同3g/(n+1)=/(n+2)+/5)联芷得心+22YD.所以T=6故/2010)=/(0)=丄解决此类问题需要拿握一些较典型的关系式•现总结如下:1J.1+a)=/(x-a)—=2
8、<1
9、/(/(/(/(23456/x)=1a+x)=/'(b+h)—T=l)-ar)=-/(x+ai—=2
10、«
11、“+x)=-/(b+x)—^T=2
12、6-ag)H0)四、利用函数模型解决问题—步推理其他的性质和运算规律，有时候用常规方法解决很难，但与具体函数〃对号入座〃问题就容易解决了。例6:已知函数f(x)对
13、田可xzyeR，总有f(x)+f(y)二f(x+y),且当xO时,f(x)0o(1)判断函数的奇偶性，(2)判断函数f(x)在R上的单调性。分析：对任何xzyeR，总有f(x)+f(y)二f(x+y),可猜想抽象函数f(x)生成的原形函数:f(x)=kx，由xO时，f(x)0o知kO,所以问题(11(2)的答案可大胆猜想如下：(1)函数f(x)是奇函数，(2)函数f(x)在R上是减函数。常见的抽象函数模型有:⑴线性函数模型。若f(x)定义域为D
