高三数学抽象函数与解题策略课件.ppt

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1、抽象函数与解题策略2021/9/1812021/9/182是奇函数2021/9/183那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。抽象函数的定义：2021/9/184；抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，对应的是指数函数对应的是对数函数等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。2021/9/185抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。202

2、1/9/186面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③利用函数的性质；④分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；⑤构造与联想等。2021/9/187策略一：赋予特殊值例题1、设函数（，且任意实数满足（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式），对2021/9/188证明：（1）令令2021/9/189（2）令令，即为偶函数。2021/9/1810（3）又或由（2）知f(x)为偶函数，又在上为增函数2021/9/1811或20

3、21/9/1812例题2、设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。策略二：恒等变形2021/9/1813分析：这同样是没有给出函数表达式的（T为非零常数）则为周期函数，抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出且周期为T。2021/9/1814证明：已知得2021/9/1815由（3）得由（3）和（4）得上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。2021/9/1816例题3、f(x)是定义在R上的函数，且若f(1)=2，求f(2005)的值。，（f(x)≠0，1）。2021/9/1

4、817解：已知2021/9/1818解：∴f(x)是以4为周期的周函数，则2021/9/1819例题4、设f(x)是定义在实数集R上的函数，；求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。且满足下列关系：。2021/9/1820证明：已知又（1）2021/9/1821证明：（2）即f(x)是以40为周期的周期函数2021/9/1822证明：由（1）式由（2）式综上所述，f(x)是奇函数，又是周期函数。即f(x)是奇函数2021/9/1823例题5、已知函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f

5、(y),f(x)是非减函数。（1）证明f(1)=0；（2）若f(x)+f(x－2)≥2成立，求x的取值范围。策略三：利用函数的性质2021/9/1824解：(1)令x=2,y=1，则f(2×1)=f(2)+f(1)(2)由已知f(x)+f(x－2)=f(x2－2x)≥2，又2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)f(1)=0又f(x)为非减的函数f(x2－2x)≥f(4)2021/9/1825解：x2－2x≥4即x2－2x－4≥0x≥1+或x≤1－已知f(x)对x>0有意义，且x－2>0x>22021/9/1826策略四

6、：分类讨论例题6、（新）设f(x)是定义在R上的函数，时，，且对任意的实数求证：对于任意，都有。当x、y，均有2021/9/1827证明：令若，令与已知矛盾2021/9/1828当时，综上所述，对于任意，都有。2021/9/1829例题7、若对任意实数x和常数a都有成立，试判断f(x)是不是周期函数？为什么？策略五：构造与联想2021/9/1830看作是的一个原型，而的周期是的四倍，故可猜想4a是的一个周期可以把分析：观察已知的抽象关系式，可以联想到极其相似它与2021/9/1831证明：2021/9/1832即f(x)

7、是周期函数，且4a是它的一个周期。2021/9/1833例题8、对每一实数对x、y，函数f(t)满足。若，试求满足的整数t的个数。2021/9/1834解：令，得令，得，又令，得2021/9/1835令，得（※）即当y为正整数时，由，2021/9/1836，即对于一切大于1的正数t恒有又由（※）式下证明，当整数时，恒有：2021/9/1837由（※）式即同理可得2021/9/1838相加，即当整数时，恒有综上所述，满足的整数只有2021/9/1839综合例题解析例题9、设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）

8、证明2021/9/1840（2）证明：在R上是增函数；若，求满足的条件。，（3）设2021/9/1841解：（1）令得或，当时，有，这与当时，矛盾，。若2021/9/1842（2），则，由已知得，由若时，由2021/9/18432021/9/1844（3）由得由得（2）2021/9/1845从（1）、（2）中消去得因