常见组合问题的解题策略

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1、常见组合问题的解题策略　　高中数学中，概率统计问题是重要的知识，而在概率统计中，概率的计算是重中之重，笔者就在概率的计算的初步排列与组合的一般解题方法上做了探究，本文以组合的计算为依据起到了抛砖引玉的作用。排列、组合是高中教学的重点内容，在解决组合问题时，学生没有分析清楚属于哪一种类型而把问题复杂化，因此在这一方面我把这个问题作了以下分析：　　一、“至多、至少”　　例1.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各选一名，选派5人外出比赛，下列情形中各有多少种选派方法？　　（1）男3名，女2名；　　（2）队

2、长至少有1人参加；　　（3）至少有1名女运动员。　　解：（1）C36?C24=120；　　（2）分为两类：仅1名队长参加和两名队长都参加：C12?C48+C38=196；　　（3）没有限制排列中排除无女运动员情况即可：C510-C56=246。　　评析：本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：1.直接法：“至少”中进行分类。2.间接法：就是从总数中去掉“至多”。　　二、关于“恰”的问题　　例2.设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内

3、，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种？　　解：从一个球中任意取出两个放入与它们编号相同的盒子中有C25种方法，再从剩余的3个球中取出1个放入与其编号不同的盒子中有C12种方法，最后剩下的两个球只能有一种放法，所以一共有C25?C12种投放方法。　　评析：“恰好”型一般先将这个“恰好”的元素确定，然后再依次确定其他元素的放置位置。　　三、“都是”与“不都是”　　例3.12件产品，其中5件一级品，4件二级品，3件三级品，从中取出4件使得：　　（1）不都是一级

4、品，共几种取法？　　（2）都不是一级品，共几种取法？　　解：（1）排除都是一级品的，所以有：C412-C45=490（种）。　　（2）都不是一级品，则只能是从其余7件中选取，有C47=35（种）。　　评析：“都是”“都不是”与某元素的“含”“不含”，都是同种类型的，首先须将给定的总元素分类，才能判断所选取的元素分别来源于哪一类元素中。　　四、“多面手”问题　　例4.有11名外语翻译人员，其中5名英语译员，4名日语译员，另两名英日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译

5、日文，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可以开出多少张？　　解：把其中英日都会的记做“多面手”，则这道题可以按“多面手”参与的情形分为下列三类：　　第一类：“多面手”不参加，有C45?C44种。　　第二类：“多面手”中有一人参加，他还可以有作为日文和英文翻译的两种可能，因此有C12?C35?C44+C12?C45?C34种。　　第三类：“多面手”中有两人参加，这时分三种情况：两人都是英文，都是日文，两人各译一种，因此有C22?C25?C44+C22?C45?C24+C12?C35?C34（种）。　　

6、综上可得，共可以开出8人名单有C45?C44+C12?C35?C44+C12?C45?C34+C22?C25?C44+C22?C45?C24+C12?C35?C34=145（种）。　　评析：在处理“多面手”问题时，应当把“多面手”放在优先考虑的位置，依据他们参与的人数作为分类标准，进行讨论。　　五、“平均分配”问题　　例5.有6本不同的书按下列分配方式，问共有多少种不同分配方式？　　（1）分成1本、2本、3本三组；　　（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；　　（3）分成每组都是2本的

7、三个组；　　（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。　　解：（1）分三步：先选1本有C16种选法；再从余下的5本书选两本有C25种选法，最后再从余下的三本有C23种选法。由分C23步原理得：C16?C25?C23=60（种）。　　（2）由于甲、乙、丙三人是三个不同的人，在（1）的基础上，还应再考虑分配问题，分配方式共有C16?C25?C23?A33=360（种）；　　（3）先分三步，则应有C26?C24?C22种分配方式，但是中间有重复的，此时共重复了A33种，故分配方式有：■=20（种）；　　（4）在问题（

8、3）的基础上再分配即可，共有分配方式：■A33=120（种）。　　评析：平均分配问题：一般来说：km个不同的元素分成k组，每组有m个，则不同的分法有：■（种），若不是平均分组问题就没有重复的分法，则不需要除以全排列数。注意把书分给人（即分派或分配问题）与分组问题是不同的问题。　　六、元素的“在”与“不在”问题　　例6.将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路，如果元件A不排在始端，元件B不排在末端