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《排列组合问题的常见题型与解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、排列组合问题的常见题型与解题策略解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列（有序）还是组合（无序），还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥（不相容），②总类必须完备（不遗漏）；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作小往往是“步”与“类”交义，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。以上解题思路分析
2、，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，防漏防重；周密思考，用准加乘；直接I'可接，思路可循；先选后排，有条不紊；元索位置，特殊先行；一•题多解，检验真伪。（一）•两个原则：（1）特殊元素（特殊位置）的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，i般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。多数情况下,其特征是某一个或几个位置不能放置某一个或某几个特殊元素。针对实际问题，可采用“元索优先”或“位置优先”。例1-10、2、3、4、5这五个数字，纽成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：（元素优先）分两类：第一类，含0,0
3、在个位有A；种，0在十位有A；A；种；笫二类，不含0,有A；A；种。故共有（A；+A*A；）+A；A；=30种。注：在考虑每一类时，乂要优先考虑个位。解法二：（位置优先）分两类：第一类，0在个位有A；利％第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑H立，冇多翱种。故共有4?4-4^=30（2）排列组合混合问题……先选后排例1・2:有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，毎盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解：第一步从5个球屮选岀2个组成复合元共有cj种方法•再把5个元素（包含一个复合元素）装入4个不同磁内有°种
4、返法根据分步计数原理装球的方法共有°,A4解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与和邻元素捆绑策略相似吗？（二）・合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题,应按元素的性质（约束条件）进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏.分类是高中数学屮…种重要的思想力法例2・1已知集合人={1,2,3,4,5,6,7,8,9},求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数.解法1：C；C+C：C；+C：C；=105解题思路是：从正面考虑分类，将含5个元索，且其屮至少有两个是偶数的子集分为
5、二类：2个偶数,3个奇数<3个偶数,2个奇数4个偶数,1个奇数解法2：C；—C；—C：C；=105解题思路是：从反而考虑，全部子集个数为C；,减去不符合条件的两类:J全部5个都是奇数（4个奇数,1个偶数直接法、间接法是两类很重要的思考方法和解题方法.错解：C：C；=2105解题思路是：先由4个偶数选2个偶数，再由剩下的7个数（2个偶数，5个奇数）选3个数，组成含有5个元索的集合且满足至少有2个*赅的条件，列dUU・例2・2：（与上面例2是完全相同的题目）由12人组成文娱小纽，其中5人只会唱歌，5人只会跳舞，2人乂会唱歌乂会跳舞。现从这12
6、人中选派4人会唱歌4人会跳舞的去排练节目,共有多少种选法?2C52C54+2C21C53C544-2C53C534-C54C54=525例2-3：1至,00的自然数中，取两个数，使这两个数的乘积能被6整除，共有多少种选法分析：100个数分四类:①只能被2整除34个元素②只能被3整除17个元素③既能被2整除也能被3整除（能被6整除）16个元素④既不能被2整除也不能被3整除33个元素解:咪+的+g=1346例2-4：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有_解法1：直接法可先安排甲，并按甲进行分类讨论：•••••••
7、•••(1)若男.在第二个位置上,则剩下的私四人可自由安排,有A：种方法;(2)若•更在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有A；A；A：种站法;再根据分类计数原理，不同的诂法共有：A：+A；A；A；=78利-解法2：间接法2A：+A；=78例2・5：从1到100的口然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于100,贝怀同的取法种数冇种。解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数屮较小的为101有1种;102有2种;……149有49利150有50种，151有49种......199有1种故不同的
8、区法有：(1+2+……50)+(49+48+……+1)=2500种。(三)•相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，先.将相邻元索掴綁成整体并看作一个元索(同时对相邻元素內部进行口排)
