排列组合问题常见解题策略

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1、排列组合问题，常见解题策略曹永玉排列组合问题是高考的必考内容，也是高考题中正确率最低的题目之一。究其原因，是因为其思维方式独特，解题思路新颖，如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题，这样有利于学生认识模式，进而熟练应用。本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策略，以期对大家有所帮助。一、排列问题1•某个（或某几个）元素要排在指定位置一一特殊元素“优先法”。例1・乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力要排在

2、第一、三、五位置，其余7队员中选2名排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？解析：3名主力的位置确定在第一、三、五位中选，将他们优先安排，有A/A,种可能，然后从其他队员中选2人安排在第二、四位置，有剧种排法,因此结果有A,种。点评：先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解决排列问题的基本方法。2.某个元素不排在指定位置一一排除法。例2.5个人排队，其中甲不在排头的排法有多少?解析1：（排除法）5人的全排列数肚，其中甲在排头的排列数賞，故甲不在排头的排列数A55-A/=96种解析2:（特殊元素优先法）：先从余下的4个位置中选一位置

3、排上，甲有A/种方法，然后其他4个元素排在余下的四个位置A/,所以总计昇九1种排法。解析3:（特殊元素优先法）：先从甲以外的4人中选出一人排在特殊位置——排头罷，然后其他四个元素排在余下的4个位置A窪所以总计A/A,种排法。2.相邻问题一一捆绑法例3.4名男生和4名女生排成一排照相，要求4名女生必须相邻，有多少种排法？解析：4名女生看作一个整体（捆绑），与4名男生共五个元素全排列AJ,但这4名女生内部又有顺序A4故A"/种不同排法。3.小团体问题捆绑法例4.5人站一排，其中甲、乙之间有且只有一人的站法有多少？解析：先从甲、乙之外的

4、3人中选一人，然后将甲、乙排在他的两边有CsA'种方式，3人形成一个小团体，看作一个元素再与余下的2人排列有Af种。因此共A31A22A?种不同站法。4.不相邻问题一一插空法例5.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法有多少？解析：先将5个独唱节目排列形成的6个空挡中，从后面5个空挡中选3个排在舞蹈节目A5故有A/A/种不同排法。5.定序排列问题一一缩短法例6.书架上有6本书，新买了3本书插进去，保持原来6本书的顺序不变，有多少种排法?解析：9本书作全排列AJ,

5、考虑到原来6本书的顺序不变，原来的每一种排法都重复了A/次，因此有A；/A66种插法。点评：若有n个元素参加排列，其中有m个元素顺序是确定的，则排列数Ann/A；7・重复排列问题一一住店法例7.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少？解析：冠军不能重复给多名同学，但同一同学可以获得多项冠军。把8名同学看作8家店，3项冠军看作三个客，他们都住进任意一家店，每个店都有8种可能，因此共有M种不同结果。点评：⑴重复排列问题要区分两类元素，一类可以重复，看作店，另一类不能重复，看作客。则通过住店法可以顺利解决。⑵类似问题很多，信投箱问题

6、，映射问题均可以通过住店法解决。如8封信投进3个信箱，有多少不同结果？这里8封信是客，3个信箱是店，故有3*种结果。8.多排问题排法例&9个人排3排，每排3人，有多少种不同的排法？解析：将2、3排的排头分别接到第1、2排的排尾，问题转化为9人排一排,故有A/种。9.标号排位问题分步法例9.同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿到一张别人的贺卡，则四张卡不同的分配方式有多少种？解析：先将四个人标号㈠㈡㈢㈣，各自的卡标号①②③④，转化为卡与人不对号入座问题。第一步㈠号同学取1张①号之外的卡AJ;第二步由㈠号同学取出的那张贺卡的

7、供卡人取，有3种取法；第三步由第二步取出的卡的供卡人取，只有一种取法；第四步最后1人取卡，也只有1种取法，故有3x3x1=9种分配方法。点评：从第二步起，每1步由上一步取得卡的供卡人取。二、组合问题K某元素一定选上（或不选上）问题例10.某乒乓球队9名队员，其中2名种子选手，现选5人参赛，种子选手都必须在内，有多少种不同选法？略解：C/2.至多.至少选上几个问题分类讨论或排除法例11.在200件产品中有3件次品，现从中任取5件，其中至少有2件次品的取法有多少？略解一（分类讨论）：C/CM+C/C屏略解二（排除法）:C2Oo5—C19

8、75—C^/Cs13.分组（分堆）问题①均匀分组问;个元素分成m组，每组r个元素，则分法[C；Crn-rC,r]/A；（其中mr=n）例12.6本书分成3堆，每堆2本，有多少分法？解析：共C62C42C22/A33=15种分法②非均匀