几类常见排列组合问题解题策略

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1、几类常见排列组合问题解题策略排列组合问题是高中数学中的一个难点，也是高考的必考内容。其思考方法独特，解题思路新颖。如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。在初学阶段，提高学生解排列组合题的有效途径之一是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题。这样有利于学生认别模式，并进而熟练运用。本文列举了八种常见的排列组合典型问题的解题策略，希望能对大家有所帮助。1重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过

2、“住店法”可顺利解题。例18名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）ABCD[解析]冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有种不同的结果。选（A）。[评述]类似问题较多。如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有种结果。要注意这两个问题的区别。2特色元素“优先法”某个（或几个）元素要排在指定位置，可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。例2（2000年

3、全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。[解析]3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有种排法。因此结果为=252种。例35个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？[解析]按一定次序排列的一列数叫做数列。由于7个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（

4、也可先填“1”再填“2”）。因此，一共可以组成=21个不同的数列。3相邻问题“捆绑法”把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其余普通元素全排列，是为“捆绑法”，又称为“大元素法”。不过要注意“大元素”内部还需要进行排列。例4（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。[解析]将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有种排法，再将3

5、本数学书之间交换有种，2本外文书之间交换有种，故共有=1440种排法。[评述]这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。如：7个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，而且中间一人可从其余5人中任取，故共有种排法。4相间问题“插空法”元素不相邻问题，先安排好其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端即可。例5（2003年北京春季高考题）某班新年联欢

6、会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A6B12C15D30[解析]原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有种排法，选（D）。[评述]本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、···10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的

7、关灯方式有多少种？可得结果为=20种。你能很快求解吗？5多元问题“分类法”对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论，然后根据分类计数原理将各种可能性相加即得。需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。例6（1999年全国高考题）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有____________种（用数字作答）。[解析]先考虑A种在左边的情况，有三类：A种植在最左边第一垄上时，B有三种不同的种植方法；A

8、种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上时，B只有一种种植方法。又B在左边种植的情况与A在左边时相同。故共有=12种不同的选垄方法。例7有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日语都精通。从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出多少张？[解析]假设先安排英文翻译，后安排日