中考数学复习专题：中考数学中最值问题的解题策略

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1、本文通过一道屮考题，谈谈一类最值问题的解题策略.一、问题呈现如图1,菱形ABCD中，ZA=60°,AB=3,OA>QB的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、OA和OB±的动点，则PE+PF的最小值是.解析由题意可得出:当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小.于是，连接3D（如图2）.菱形ABCD屮，・・・ZA=60°,・・・AB=AD，贝ijZABD是等边三角形，BD=AB=AD=3.VOA>OB的半径分别为2和1,・・・PE=1,DF=2,・・・PE+PF的最小值是3,故答案为3.—点评本题主要考查了菱形的性质及相切两圆的性质，根据题意确定P点的位置是

2、解题的关键•从解析过程看，本题的解法借助了P的特殊位置，即利用了“特殊化”数学思想方法、通过本例可以让我们拿握处理同类问题的方法技巧.二、解题方法耍揭示本题的深层结构，真正理解本题的实质，需借助一个基本模型，即河流同测的两个村庄建设水管最短的问题.本题中虽点E、F是动点，但它们在定圆上运动，到圆心的距离不会改变，因而将点E、点F转化为定点A、B,先解决点A、B和直线CD上的点P;满足PA+PB最小后扣除两半径的长即.故本题可转化为铺水管最短问题，只需作出点A关于直线CD的対称点Q,连结BQ与CD的交点即为点P,由题意可得P与D重合（如图3）.可见，利用已知的数学模型，解题不仅直观，更

3、易理解.近年来，各地中考中出现了很多以几何图形为题材的中考最值题，下面从近几年全国各地数学中考试题、中考模拟试题中选取几例，进一步揭示几何最值问题的解题策略.三、策略应用1.利用对称图形求最值例1如图4,矩形ABCD中，AB=2,BC=3,以A为圆心，1为半径画圆，E是OA上一动点，P是BC±的一动点，则PE+PD的最小值是.图4分析类比上述问题，不难将动点E转化到定点A,构建铺水管最短问题模型.故作A关于直线BC的对称点Q,连结QQ与BC的交点即为点P.解析作点A关于直线3C的对称点0,连结DQ与BC的交点即为点P.在RtADQ屮，，AQ=4,AD=3,则DQ=5,・・.PE+P

4、D的最小值为DQ-}=4.评注本题是以矩形为素材的线段和最小值问题，考查了动点转化成定点，利用作对称图化归为铺水管最短问题，培养了学生的建模思想，突出考查学生的几何综合能力.1.科用函数性质求最值例2如图5是一种带有黑白双色，边长是20cm的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图6的图案.已知制作图5这样的瓷砖，其黑、口两部分所用材料的成本分别为0.02元fem1和0.01元/cM,那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是元.(龙取3.14，结果精确到0.01元)解析设图5中扇形的半径为xcm,则正方形边上的另一段线段长为(20-x)cm(0

5、元，则(20—X)XX4■—兀2+0.0120?—(20—兀)xx—彳兀271400当兀二———=—=型^=12.73时，y的最小值为6.73元.—2xZ龙157400评注本题是以正方形为载体的成本最值问题，它是一种难度较大的综合问题.求解的关键是：1、抓住题目中成本单价的单位联系CM?的含义一面积联想构成瓷砖的图形面枳;2,借助问题的最低成本，建立函数模型求解最小值•本题将儿何问题代数化，突出考查了学生儿何、代数知识转化技能及函数思想方法.1.利用特殊位置求最值例3(2010年无锡模拟)如图7,在AABC屮，AB=5cm,ZA=45°1ZC=30°,为ABC的外接圆，P为®C上任一

6、点，则四边形OABP的周长的最大值是图7分析本题四边形OABP的周长屮OA、0C是半径为定值，AB是定值5,故周长要想最大，则需要BP的值最大，其位置应在点C处，即可求得BC的长为BP的最大值.解析过点B作丄AC于点D,连结OB,OC.・・・AB=59ZA=45°,ZC=30°,c/2・・・BZ)=tan45°AB=^,2・•・BC=2BD=5^2,・・•ZBOC=2ZA=90°,OB=OC=5.当点P在点C的位置时，四边形OXBP的周长最大为：5+5+5+5血=15+5血・评注木题是以质点运动为背景的儿何图形周长最值问题.解决此类动点问题的关键是分析题意，找到不变的量和变化的量，利

7、用几何图形中的特殊位置确定变量的最值來确定周长的最值.本题突出考查学生的儿何识图能力，圆屮特殊元素的特征，灵活构建特殊图形模型的意义建构能力.1.利用几何公理求最值2例5如图8(1),已知圆柱体底面圆的半径为一，高为2,AB.CD分别是两底面的直径，AD.BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是.(结果保留根号)(1)分析本题的难点是考查立体图形中的最短路线，解决的关键是将其转化为平面图形求线段的长度•因此，将圆柱的