中考数学复习指导：借助作图操作寻求解题思路

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1、借助作图操作寻求解题思路儿何知识是初屮数学的一个重要部分•其中，儿何作图是儿何知识的一个重要内容，它是学好儿何的必备技能•儿何作图不仅可以帮助学生提高识图能力，还可以帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，在几何作图的过程中，可以让学生加深对题目的理解.复杂的几何作图，都是由一些基本作图组成的•常见的基本作图有根据条件作三角形;作角平分线;作线段垂直平分线;作轴对称图形;作旋转图形等等•在复杂几何问题中，适当的分析与操作，作图，有助于我们解决儿何问题.下而通过一个例题，说明儿何作图的操作探究，对于分析儿何问题，寻求解题思路具有重要意义.试题(2017年福建省泉州市

2、初中学业质量检查题)如图1,在直角坐标系中，抛物线〉，=—兀2+加+2与兀轴交于两点，与直线y=2x交于点⑴求加上的值;(2)已知点M,N关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s(s>0)个单位长度,若线段MN与抛物线有两个不同的公共点，试求$的取值范围；(3)利用尺规作图，在该抛物线上作出点G,使得ZAGO=ZBGO,并简要说明理由.(保留作图痕迹)解析(1)Q抛物线与直线的交点为m=-+b+2m=2(2)如图2,关于原点O对称…••N(7—2).易得线段MN的解析式为y=2x(-1<%

3、=2x+5(-10,9/•S<—•4通过观察图象，可知线段向上平移的过程中，当MN过点A时，线段MN与抛物线开始有两个交点.・・・/经过点人(一1,0)时，W-2+5=0,B卩s=2.9综上，—2Ssv—.4对于第(1)(2)问，学生通过简单的推理计算及数形结合的方法容易得到结论.而对于第(3)问，很多学生无从下手，或者胡乱作图.下面我们对笫(3)问进行分析.首先，从条件“ZAGO=ZBGO"11!发，即G

4、O平分ZAGB.考虑到它具有性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，所以过点O作OE丄AG于点丄BG于点F,如图3,则有OE=OF.图3由于点4(一1,0),点3(2,0),所以有20A=OB,进而有2SM0G=S^0G.由于OE=OF,所以得到2AG=BG.得到的新条件=对于能力强的初屮生来说，会利用平面直角坐标系屮两点的距离公式得到点G的横纵坐标满足的关系式，再结合圆的方程，得到尺规作图的方法.解答如下：设G(兀,y),则AG2=(兀+1尸+yBG2=(x-2)2+y2.Q2AG=BG,:.4AG2=BG2,即4(x+l)24-4y2=(x-2)2+y2

5、,整理得(x+2)2+/=4.则点G是在以(・2,0)为圆心，2为半径的圆上，进而完成尺规作图.对于能力强，具有超前学习能力的学生来说，可以通过代数计算的方法得到解答思路.但是大部分初中生对于式子4(兀+1)2+4尸=(兀+2)2+；/,转化成圆的方程(x+2)2+/=4,进而得到点G的轨迹是没有办法理解的.那么，是否有其它方法让大部分学生能解决这个难题呢?于是，笔者做了如下思考.本题的第(3)问要求用尺规作图，得到点G.既然是尺规作图，那是否能用尺规作图，加上直观猜想的方法去寻找满足条件-2AG=BG-的点G的轨迹呢?如果能，那么，这个轨迹与抛物线的交点不就是

6、所要找的点G了吗？根据上面的思路，抛去抛物线的背景，利用尺规，开始寻找点G的轨迹.以AG为半径作G)A,以BG为半径作G)B.两圆的交点为点G.由于04=1,03=2,要使得G)A与OB有交点，贝iJl

7、确作图后，观察发现，这些点G形成了圆的图形(如图5).且在作图时发现当AG=3时，OA与OB只有一个交点E(・4,0),当AG=l时，OA与OB只有一个交点0(0,0),进而得到G所在的轨迹为以(・2,0)为圆心，2为半径的圆，进而完成尺规作图.这样，在不需要具备圆的方程，不需要复杂的代数变形技巧的情况下，我们凭借几何作图和直观猜想，就寻找到了点G的轨迹.下面给出证明(如图6).QF(-2,0),A(—1,0),B(2,0),FG=2,FA1FG21.———••FGpFB~4~2f即竺=0FGFB又QAGFA=ZBFG,:NAFG:7GFB,••・ZFGA=ZF

8、BG,QOF=FG,・•