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《中考数学复习指导：“共圆”解题妙哉妙哉》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“共圆”解题妙哉妙哉在初屮数学“圆”这一章节的教学屮，我们遇到这样一题：题1如图1,四边形ABCD是OO的内接正方形，AB=4,PC.PD是OO的两条切线，C、D为切点.(1)如图1,求＜30的半径；(2)如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；图1(3)如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B、C),以点M为直角顶点，在BC的上方作ZAMN=90°,交直线CP于点N,求证:分析对于本题中第(3)小题，常规解法如下：如图3,在上截取=・・・AB=BC,BF=BM,・・・AF=MC,ZBFM=ZBMF=45°.・・・ZAMN=90°,/.ZAMF+ZWC=
2、45°,ZFAM+ZAMF=45°,・・・ZFAM=ZNMC.•・•由⑴W：PD=PC.ZDPC=90°,:.ZDCP=45。,・・・乙MCN二135°・•・・ZAFM=180°一ZBFM=135°,ZFAM=ZCMN在口加和厶CMN屮，AF=MCZAFM=乙MCN:.AFMCMN,/.AM=MN.教学中有同学提出如下不同的方法：连结AC,・・・ZABC=90°,:.AC为。0的直径.・・・PC是OO的切线，・•・ZACN=90°.•・•ZAMN=90°,・•・A,M,C,N四点共圆，・・・ZANM=ZACB=45。，・・・AAMN是等腰直角三角形，・・・AM
3、=MN.注很明显，这个方法是利用四点共圆的思想解题，比常规利用全等的方法简单得多.可见，熟练掌握“四点共圆”的判别方法，适当时候构造圆，可轻松解决这类题目.题2如图4,以正方形ABCD的一边AD为边向外作正六边形ADHGFE,连结BE,DE，则ZBED的度数为多少？G分析本题常规解法是，由正六边形内角的度数，求出ZAED、ZBEA的度数，但过程比较繁锁•利用“共圆”的思想观察发现，B,D,E三点到点A的距离相等，所以可构造圆,则ZBED这个圆周角显然等于圆心角ZBAD的一半.这种方法直接给出答案，简洁明了.题3（2015年镇江中考题）【发现】如图5,ZACB=ZAD
4、B=90°,那么点D在经过人B,C三点的圆上.如图7,过A,B,C三点作圆，圆心为O,假设点D在圆O外，设AD交圆O于点E,连接BE,则ZAEB=ZACB，又由角AEB是三角形BDE的一个外角，得ZAEB=ZADB,因此ZACB大于ZADB,就与条件ZACB=ZADB矛盾，所以点D不在圆O外.【思考】如图6,如果=ZADB=a{a90°）（点C,D在43的同侧），那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗？请证明点D也不在OO内.【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD//BC,ZCAD=90°，点E在边上，CE丄DE.⑴作ZADF=ZA
5、ED,交CA的延长线于点F（如图8）,求证:DF为RtAACD的外接圆的切线；F2(2)如图9,点G在BC的延长线上，ZBGE=ZBAC,己知sinZAED=-,AD=1,3求DG的长.解(1)如图8,取CD的中点0,则点0是RtAACO的外心，-ZCAD=ZDEC=90°,・・・点E在OO上，・•・ZACD=ZAED,・・•ZFDA=ZAED,:.ZACD=ZFDA.•・・ZDAC=90°,・・•ZACD+Z/1DC=90°,・•・ZFDA+ZADC=90°,・•・OD丄DF,・・・DF为RtAACP的外接圆的切线；(2)如图9,vZBGE=ZBAC,・••点G在
6、过C,A,E三点的圆上.又・・•过C,A,E三点的圆是RtAACD的外接圆，即0O,/.点G在OO上.-CD是直径，・・・ZDGC=90。，•・•ADHBC;ZADG=90°,•・•ZDAC=90°,・・・川边形ACGD是矩形，・•・DG=AC.・・•sinZAED=-,ZACD=ZAED,.2/.sinZACZ)=—・5在RtAACD中，AD=1,・•・CD=5二—92・•・AC=ZCD?一A/=邑，；.DG=^22注此题用“发现”和“思考”这两个环节，告诉学生一个四点共圆的判定方法之一是“线段向同侧所张的角相等，那么角的顶点和线段的端点共圆”.在第(1)小题中通
7、过四点共圆判定切线.第⑵小题则是发现五点共圆(4CDEG)后，把已知三角函数的角转化为直角三角形中的相等角，再解决问题.我们知道，共圆的识别方法还有对角互补，四点共圆，外角等于内对角，四点共圆等等.教学中要培养学生合理展开想彖，善于积累知识经验，不断增强思维能力.
