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《中考数学复习指导：例说三类常用的旋转变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例说三类常用的旋转变换旋转变换大致有三种类型：一是通过旋转将线段或角转移，形成特殊三角形；二是通过旋转集屮线段、角、三角形等图形；三是通过线段屮点旋转180°,构造中心对称型全等图形，本文意在通过儿个例子，帮助同学们体会如何利用旋转来解决问题.一、利用旋转将线段或角转移，形成特殊三角形如果题目中一些几何元素比较分散，而又有共端点的等线段图形，就可以考虑将某个三角形旋转一定度数，形成特殊的三角形，从而沟通已知和所求.特别地，当旋转角度为60°时，就会出现等边三角形；当旋转角度为90°时，就会出现等腰直角三角形.例1如图1,在等腰△ABC44
2、,AB=AC,D是AABC内一点，且ZADB=ZADC,求证：ZDBC=ZDCB.分析虽然题目中相等的元素集中在AABD和AACD中，但却很难直接证明△ABD和AACD全等，所以考虑把线段和角进行变换之后再使用.而AB=AC提供了AABD旋转的基础，并且旋转Z后乂形成新的等腰三角形.解将AABD绕点A逆时针旋转到△ACD,联结D'D.VZADB=ZADC,乙ADfC=乙ADC.・A又AD=AD.乙ADD1=乙ADrD,爪、、故厶CDD=乙CD7),/CD=CD,CD=BD,'!•••LDBC=厶DC&mhBC例2如图2,已知PA=d,
3、PB=4,ZAPB=45°:图】以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧，求PD的长.分析在AAPD屮，虽然知道PA,AD的长度，但却没有特殊角度，因此难以求解图2BPD.而AB=AD,所以可以考虑将APAD绕点A顺时针旋转90°到AEAB,同时形成等腰直角三角形.解将APAD绕点A顺吋针旋转90°得到AEAB,联结EP,•••△AEP为等腰直角三角形，・・・ZEPA=45°・而ZAPB=45°,故ZEPB=90°,在AEPB中由勾股定理，可得EB=2y/5,即PD=2.例3如图3,AABC屮，ZACB=100°,ZC
4、AB=30°,P是AABC内一点，且ZPAB=20°,ZPCA=40°,求ZPBA度数.分析由于题目中的条件比较分散，所以需添加辅助线，把分散的条件联系起來.考虑到ZCAB=30°,所以将线段AB绕点A逆吋针旋转60°,形成等边三角形，以及一组轴对称三角形.解将线段AB绕点A逆时针旋转60°,得到AE,联结EB,EC,EP.则厶ABE为等边三角形，且厶ACB^AACE,・•.乙PCE=乙ACE+APCA=140°.而LPAE=LBAE-乙PAB=40°,・•・厶PCE+乙PAE二180°,・・・P、4、E、C四点共圆，・•・乙PEA=乙P
5、CA=40°=乙PAE,PA=PE・・・•BA=BE,故BP垂直平分4E,也平分"BE,・•・LPBA=30°.二、利用旋转集中线段、角、三角形等图形例4如图4,在四边形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,AD=DC.求证：bd2=ab2+bc2.分析考虑到求证BD2=AB2+BC2,所以需要构造AB与BC垂直的三角形，于是以B为旋转中心，将BC旋转到BE.解以B为旋转中心，将BC逆时针旋转60°到BE,并联结AE,AC,CE,则ABCE图4为等边三角形.又乙ADC=60%AD=DC,・•.^ADC是等边三角形，・•・DC=A
6、C.又CB=CE,厶DCB=60°+/_ACB=乙ACE,・•・AACE姿ADCB,/.AE=BD.而AB2+BC2=AB2+BE2=AE2,・•・BD2=AB2+BC2.例5如图5,己知六边形ABCDEF的六个内角相等，且AB=BC=CD,DE=AF.若ACEF的面积是六边形ABCDEF面积的一半，求证：ZECF=60°.分析由ACEF的面积是六边形ABCDEF面积的一半，可得ACDE与四边形ABCF的而积Z和等于ACEF的而积，因此考虑把ACDE与四边形ABCF合二为一.于是将△CDE绕点C逆时针旋转120°到ACBC.解IACEF的
7、面积是六边形ABCDFF面积的一半,ASacef=Saced+S四边形cfab,将ZCDE绕点C逆时针旋转120°,得JlJACBG.•・•厶CBG=厶CDE=乙ABC=120°,.・.Z.ABG=120°=LBAF,.BG//AF.又BG=DE=AF,・•.四边形AGBF是平行四边形.••°4AM一QMBF，••S5CGF=SbCBC+S4BCF+=Sacrc*Smcf+S△硕二S5CBG+Spq边形CCS=S4CED+S四边形cfab=S•・•CE=CGt.•.点F到CE、CG的距离相等，.•-CF平分乙ECG,故厶FCE=60°
8、.三、利用线段屮点旋转180。，构造屮心对称型全等图形如果题冃中出现了线段中点时，我们可以把某个三角形绕着中点旋转180。,构造中心对称型全等（同时形成平行四边形），使题目条件集中，从而解决问
