中考数学复习指导：例说融合三类函数的综合问题

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1、例说融合三类函数的综合问题将一次函数、二次函数、反比例函数融合在同一问题中，构成综合型试题，是近几年中考中的热点考题.本文从近几年的中考题中撷取数例略加解析，供参考.一、寻找函数例1下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（）(A)y=2x2小o（C）y=——（D）y=-20分析根据正比例函数，一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性对各选项分析判断后，利用排除法求解.解（A）£=2〉0,y随x增大而增大，故此选项错误;（B）£=1>0,y随X增大而增大，故此选项错误；（C）£=-2<0,图象位于二、四象限，在每一个分支，y随x增大而增大，故此选项错误;（D）d=—2v0,

2、抛物线的开口向下，对称轴为直线兀=0,在对称轴的左侧（即兀<0）,y随x增大而增大，在对称轴的右侧（即x>0）,y随兀增大而减小，故此选项正确.故选D.点评木题主要考查了函数的增减性.需要特别注意，反比例函数需要分象限讨论增减性;二次函数要考虑对称轴，对称轴的左右两边的增减性不同.二、选择图象例2二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图1所示，贝U—次函数y=ax+h与反比例函数y=£在同一平面直角坐标系屮的图象可能是（分析根据二次函数图象开口方向，确定出d的取值，利用“左同右异”或对称轴确定出b,再根据抛物线图象与y轴的交点确定出c的取值，然后确定岀一次函

3、数图象与反比例函数图象的情况，即可得解.解由二次函数图象开口向下，知6/<0.又因为抛物线的对称轴在y轴的右侧，故可得b>0.再由抛物线图象与y轴的正半轴相交，得c>0.所以，一次函数y=ax^-b的图象经过第一、二、四彖限，与y轴的正半轴相交;反比例函数『=£的图象位于第一三象限:于是，只有c选项图象符合，故选C.x点评本题主要考查的是二次函数、一次函数、反比例函数的性质，掌握相关性质是解的关键.三、判断正误例3一次函数y=dx+b(a工0)、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=—在同一•x直角坐标系中的图彖如图2所示，A点的坐标为(-2,0),则下列结论小，正确的是()(

4、A)b=2a+£(B)a=b+k(C)a>h>0(D)d>k>0分析由一次函数图象所在的象限可以确定。、b的符号，且直线与抛物线均经过点A,所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a,k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定.求出二次函数y=ax2+hx的顶点坐标为(-1,-0),将x=-i代入反比例函数y=L中，求出其函数值，此时利用反比例函数与二次函数的图彖位置即可确定出d与k大小.解将A(-2,0)代入一次函数y=ax+b中得，—2d+b=0,.・”=2d.因为一次函数y=cix+b图象过一、二、三象限，所以a>0,b>0・由图2知，双曲线位于第一、三象限,/.

5、k>0、：・2ci+k>2a,即b<2a+k,故A选项错误.vk>0,b>0,:.b-^-k>b,又Yb=2a,：・b+k>2a,:.a=b+k不成立，故B选项错误.Ta>0,b>0,b=2a..b>a>0f故C选项错误.1Q抛物线y=处+hx的对称轴为直线%=一一=-—=-l.2a2a4ac—h24a2当x=-1时，设此时二次函数的值为”，则y严牝二一石=一。•设反比例函数的值为力，则y2=-k-由图象可知，当兀=-1时反比例函数的图象在二次函数图象的上方，且都在x轴的下方，所以)k>0,故本选项正确.所以正确选项为D.点评本题综合

6、考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象与性质.解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息.四、求函数式例4如图3,己知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).(1)求正比例函数和反比例函数的解析式.(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m)，求加的值和这个一次函数的解析式.(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式.⑷在第⑶问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积§与2舛边形OABD的面积S满足S,=-S?若存在，求点E的坐标;若不存在，请说明理由•3分析⑴用待定系

7、数法解答.⑵将B(6,m)代入反比例函数屮，即可求得加的值;再用待定系数法即可求出解解析式.(3)A、B坐标已求出，D点坐标可根据一次函数解析式求得,借助二次函数的一般解析式用待定系数法即可求解.(4)画出图形，求出相应线段长.将不规则四边形而积转化为矩形而积与三角形而积的差或和即可解决.9解(1)易求出函数的解析式分别为y=x,y=—•x933(2)因为点B(6,m)在歹=一的图象上，所以6加=9,加=一侧点3(6,—).x22设一次函数解析式为y二总+也伙工0).因为y=kj