中考数学教学指导：三种函数的综合问题例析

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1、三种函数的综合问题例析初屮数学屮涉及的函数主要有三种，即：一次函数，反比例函数以及二次函数，它们都是初屮数学的重要内容，也是屮考命题的主要热点，由这三种函数构成的一些综合问题，在近年的中考中频频出现.下面以历年中考试题为例，进行分类解析.一、一次函数与反比例函数的综合(A)l分析图1如图1,直线y=x+2与双曲线y=-相交于点A,x（B）2（C）3（D）4函数关系式，即可求出k的值.解选C.利用函数图像先求出点A的坐标，再代入反比例二、一次函数与二次函数的综合题例2某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价双元）满足一次函数，其图象如图

2、2所示.（1）每天的销售数量m（件）与每件的销售价格兀（元）的函数表达式是图2（2）求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格兀（元）之间的函数表达式；（3）每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提髙而增加？分析根据图像信息，可以知道每天的销售数量m（件）与每件的销售价格兀（元）的函数图像是一条线段；由商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）Z间的关系可求得与x的二次函数关系式；再根据二次函数的增减性來确定每件商品的销售价格范围.解（l）m=-x+l00（00W100）；⑵每件商品的利润为x—50,所以每天的利润为:y=(%-50)(-x+

3、100).・••函数解析式为：,y=-x2+150x-5000；1502x(—1)=75.故在50

4、其代入反比例函数的解析式中进行验证，即可.L解⑴；•二次函数y=ax1+x—与反比例函数y=-交于点(2,2),x.•・2=4a+2—1,解之得a——:4k又由2=—,得k=4・2(2)由⑴知，二次函数和反比例函数的关系式分別是：1?[Hn4y=—x^+x-l,和y=—•「4x配方得y=£(兀+2)2—2.・・・二次函数图象的顶点坐标是(一2,-2).4Tx=—2时，y=—=_2,—2・••反比例函数图象经过二次函数图象的顶点.四、两个一次函数的综合题例4A,B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回.如图3是它们离A城的距离只千米)与行驶时间兀

5、(小肘疗间的函数图象.(1)求甲车行驶过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量兀的取值范围；(2)当它们行驶7小时时，两车相遇，求乙车速度.分析本题涉及到图象中两个一次函数函数交点的实际意义，及分段函数求解析式.第(1)问由题意可得，折线OCD是甲车行驶状况，线段OE是乙车的行驶状况，易求解析式.第(2)问两车相遇点就是F点，把x=7代入线段CD的函数关系式(丿=一75兀+1()5()),就可求11!相遇吋的路程，从而求出乙车的速度.解(1)①当Ow兀W6时，y二100"②当6V%W14时，设y=kxb.•・•图象过(6,600),(14,0)两点，.严+6=600,解得75,1

6、14A：+6=0.U=1050.y=-75x+1050.•_J100^(0W兀W6),…'一I-75%+1050(6

7、，旳）'Qzoioteoio，）加10）'贝g)*2010=分析本题涉及反比例函数图象的坐标计算，市题意.比例函数-图象上的纵坐标，则英横坐标分别为：X_dX20,°=2x2010-I'由题意知，上述数七，畑兀3，…，尤2010也是反比例函数-图象上的横坐标，则反比例函数-图象上的纵坐标分別为XX33x35x3兀二石、力=(2x2010-1)x3^2010=，因此』加。=2010-y=2009.5.六、两个二次函数的综合题例6如图5,把抛物线y=~A虚线部