中考数学复习指导：例析关于二次函数的系数不等式问题

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1、例析关于二次函数的系数不等式问题二次函数图形的性质一直是中考的重点和热点，在近几年的各地中考中，结合二次函数图彖探究与系数a,b,c相关的不等式，成为新的考查趋势，这类题目在较高层面上去考察学生数形结合的能力，且题目也很灵活，学生碰到往往不知何从下手，其实这类题目还是有规律可循的，大致可分三个步骤来分析.第一步先定a，b,c,△的符号a的符号由抛物线的开口方向决定(开口向上a>0,向下a<0)；b的符号由对称轴决定，在x轴左侧a,b同号；在右侧a,b异号；对称轴为y轴则b=()；c的符号看抛物线与y

2、轴交点位置，正半轴则c>0,负半轴则cvO,过原点则c=0；△的符号由抛物线与x轴的交点数决定，两个不同交点△>(),两个相同的交点△=(),没有交点△<().第二步用特殊点构造不等式通常是利用图形屮已知点，如图1.当x=—1时，y<(),即a-b+c<0.第三步利用对称轴或顶点构造特殊不等式通常用已知等量关系消去不等式中的某个字母或直接利用顶点的最值特性构造不等式.下而，我们结合实例来说明如何运用三大步解决与系数a,b,c相关的不等式问题.例1已知二次幣数y=ax2+bx+c(aH0)的图象如图1

3、所示，有下列5个结论:①abc>0；②b0；④2c<3b；（§）a+b>m（am+b）,（mHl的实数）其屮正确的结论有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个分析第一步，开口向下即a<0,对称轴在y轴右侧则b>0,交点在y轴正半轴所以O0,因此abc<0,即①式错误.第二步，如图1,已知的横坐标分别是一1,1.当x=—1时,yvO,・*.a—b+c<0,b>a+c,即②式错误.当x=l,y>0,/.a+b+c>0.这里除了图中的已知点还不能全部确定这些不等式，我们还

4、需利用抛物线的对称性发现其他有用的隐含已知点.设与X轴的两交点的横坐标分别为心，X2（Xj0,因此4a+2b+c>0,即③式正确，第三步，我们发现不等式④缺少字母a,因此考虑用等量代换消去字母a进行转化.由对称轴一—=1,得a=——,2a2代入a—b+c<0得-——b+c<0»/.2c<3b,2所以④式正确.对于⑤式，可以从顶点角度去考虑，在不等式两边都加上c,可得a+b+c>am2+bm+c,结合图象可知a+b+c是

5、顶点的纵坐标，因为开口向下对应函数的最大值，所以mH1时此不等式恒成立，即⑤式正确.综上可得③③⑤正确，故选B.反思利用上述步骤解题首先要“踏准”前两步，在此基础上第三步解题的关键要利用己知的等量(如対称轴，顶点等)去构造一些特殊不等式，这一步是起到了决定性作用.例2如图2所示，二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象经过点(一1,2),且与x轴交点的横坐标分别为X],X2，其中一24ac.其中

6、正确的有()(A)l个(B)2个(C)3个(D)4个分析第一步：易得avO,b<0,c>0,A>0.第二步：如图2,由特殊点得，当x=—2时，yvO,/.4a—2b+c<0,即①正确，第三步：我们主要从对称轴和顶点去考虑.对称轴直线x=—2=土竺2a2V—22.4ab2+8a>4ac,即④正确.我们发现题中还有一个特殊点(一1,2)还未利用，由此可得a—b+c=2.即

7、b=a+c—2.代入4a—2b+c<0,得2a-c+4<0,Aa<-*/c<2,Aa<—1>即③正确综上知选D反思至此，我们对“三大步”中的前两步已经很熟悉，解题中的难点往往集中在第三步，我们要突破难点就要充分运用顶点和对称轴的特性，这一点值得我们好好去体会，对于题中的特殊不等式，可想办法用等量代换消去多余字母，如本题中的av—l是一个很好的例子•有时条件不够，则注意结合图象去挖掘，如本题中c<2是要回过头去看一看的.所以在解题中，我们除了掌握基本的解题方法，还要善于审视题目中条件的特性.例3已知实

8、数a,b,c满足a<0,a—b+c>0.求证b2—4ac>0.分析此题看似无从下手，但是这些不等式可以联想到二次函数的系数，容易构造二次函数图象，再结合图象解决问题，一我们不妨构造一个二次函数y=ax2+bx+c(aH0).由a<0和a-b+c>0知二次函数的图象开口向下(如图3),且经过点(一1,a—b+c),而该点在第二象限内，由图象性质得抛物线y=ax2+bx+c(aH0)与x轴必有两个交点，故b2—4ac>0.图3反思此题运用了逆向思维，通过不等式的线索逆向构