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《中考数学复习指导：分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题我们常会遇到i类二次函数与三角形相关联的综合问题•解决这类问题需要用到数形结合思想，把数与形结合起來，互相渗透•此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定.要注意的是，当相似三角形的对应边和对应角不明确，或者三角形的顶点不确定时，要分类讨论，以免漏解.木文通过梳理知识点，理清解题思路，从以下儿个方而来分类例说这类问题的解题方法.一、与三角形的形状相关联例1如图1,已知直线『=丄兀+1与y轴交于点A,与x轴交于点D
2、,抛物线y=—x2+bx--c与直线交于A,E(4,m)两点，与兀轴交于B,C两点，且B点坐标为(1,0).(2)求该抛物线的解析式；(2)设动点P在兀轴上移动，当APAE是直角三角形时，求点P的坐标.分析⑴先确定直线与y轴交点A的坐标•用待定系数法将A(0,l),5(1,0)坐标代入101°3y二—F+加+c,通过解方程组得出抛物线的解折式为y=-X2--X+l.'2*22(2)将点E(4,肋代入直线y=*兀+1可得E的坐标为(4,3),再得D点坐标为(-2,0).因直角顶点不确定，可分为以下几类讨论.①当A为直角
3、顶点时，过点人作A片丄DE交兀轴于片点.设R(a,0),利用相似三角形的知识，证明RtAOD:RtROA,得—z即？二丄，t/=-,P(-,0).1OAOP,1OP}212②同理，当E为直角顶点时，£点坐标为(y,0).③当P为直角顶点时，过点E作EF丄x轴于F・设用@,0),由ZO^A+ZFf^E=90°,得ZOP.A=ZFEP3,可证RtAAOP.:RtP.FE,得£2=丝，丄=2,解得0=3*2=、.P.FEF4-b3-此吋的点P.的坐标为(1,0)或⑶0)・所以满足条件的点P的坐标为(丄,0)或(1,0)
4、,或(3,0),或(―,0).22小结解题时要仔细观察儿何图形，作辅助线，通过三角形相似求出线段的长度，再确定点的坐标.二、与三角形的面积相关联例2如图2,己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点3、与y轴交于点C(0-3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图3,己知点丹(0厂1),在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的左侧).使得S、ghc=S、gha?若存在，求出点G的坐标;若不存在，请说明理由•分析⑴利用待定系数法得岀抛物线表达式为y=F+2x—3(过程略).⑵假设存在点G,使得S、ghc=S沁,A
5、GHC和GHA有一公共边GH，如果以GH为底，对应的高相等，根据G点所处位置，分两种情况讨论：①如图2,当点4,C在GH的同侧，AC//GH时，S»hc=S乂旳•根据A(l,0)、C(0,-3)得出直线AC的表达式为y=3x-3，再根据H(0厂1)得出直线GH的表达式为尸3兀_1.解方程组y=3x-ly=x2+2x-3得出x=-ly=-4（舍）于是G(-l厂4).②如图3,当点人C在GH的异侧、线段AC的中点在GH上时，Saghc二,13仙)、C(0,-3),得到线段祀的中点P为才訐又因H(0厂1),此时直线GH的表
6、达式为y=-兀-1•解方程组y=-x-y=x2+2x-3-3奶-3+历得出于是g(土卫7,卫7).22-3-J171+VF7综上知存在两点G(—1,—4)或G(2・小结要使等底的两个三角形面积相等，可巧妙利用平行线的性质和三角形屮线的性质来确定动点的位置.三、与三角形相似相关联，例3如图4,已知抛物线与兀轴交于A(T,0),£(3,0)两点，与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线顶点为D.AAOB与ADBE是否相似?如果相似，请给出证明;如果不相似，请说明理由.分析(1)由A(-l,0),E
7、(3,0)和B(0,3),根据待定系数法，可得抛物线解析式为y=-x2+2x4-3.(2)假设相似，rtl顶点坐标公式得顶点D坐标为(1,4),分别求出线段3D,BE,DE的长BD=JBG'+DG?=Vl2+12=72；BeJbcP+OE?=孙+32=3近;DE=y/DF2+EF2=V22+42=2^5.故有BD2+BE2=20,DE2=20,即BD2+BE2=DE2,所以ABDE是直角三角形，得到ZAOB=ZDBE=90°.又Q—=—=—AAOB:ADBE.BDBE2小结本题利用两点坐标求线段的长度，再依据勾股定理的
8、逆定理判定直角三角形，然后根据两边对应成比例且夹角相等，证明两三角形相似.
