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《专题9.16 分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题【专题综述】我们常会遇到一类二次函数与三角形相关联的综合问题.解决这类问题需要用到数形结合思想，把数与形结合起来，互相渗透.此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定.要注意的是，当相似三角形的对应边和对应角不明确，或者三角形的顶点不确定时，要分类讨论，以免漏解.本文通过梳理知识点，理清解题思路，从以下几个方面来分类例说这类问题的解题方法.【方法解读】一、与三角形的形状相关联[来源:学+科
2、+网]例1如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线与直线交于两点，与轴交于两点，且点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)设动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标.分析(1)先确定直线与轴交点的坐标.用待定系数法将坐标代入，通过解方程组得出抛物线的解折式为.(2)将点代入直线可得的坐标为(4,3)，再得点坐标为(-2,0).因直角顶点不确定，可分为以下几类讨论.①当为直角顶点时，过点作交轴于点.设，利用相似三角形的知识，证明，得,即.②同理，当为直角顶点时，点坐标为.③当
3、为直角顶点时，过点作轴于.设，由，得，可证，得，解得.此时的点的坐标为(1,0)或(3,0).所以满足条件的点的坐标为或(1,0)，或(3,0)，或.小结解题时要仔细观察几何图形，作辅助线，通过三角形相似求出线段的长度，再确定点的坐标.二、与三角形的面积相关联[来源:学+科+网]例2如图2，己知抛物线与轴交于点(1,0)和点、与轴交于点(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)如图3，己知点(0,-1)，在抛物线上是否存在点(点在轴的左侧).使得?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由.分
4、析(1)利用待定系数法得出抛物线表达式为(过程略).(2)假设存在点，使得,和有一公共边,如果以为底，对应的高相等，根据点所处位置，分两种情况讨论:①如图2，当点在的同侧，时，.根据(1,0)、(0，-3)得出直线的表达式为，再根据(0,-1)得出直线的表达式为.解方程组,得出或(舍)于是(-1,-4).②如图3，当点在的异侧、线段的中点在上时，,(1,0)、(0,-3)，得到线段的中点为.又因(0,-1)，此时直线的表达式为.解方程组[来源:Zxxk.Com],[来源:学.科.网]得出或(舍)
5、于是.综上知存在两点或.小结要使等底的两个三角形面积相等，可巧妙利用平行线的性质和三角形中线的性质来确定动点的位置.三、与三角形相似相关联，例3如图4，已知抛物线与轴交于(-1,0),(3,0)两点，与轴交于点(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为与是否相似?如果相似，请给出证明;如果不相似，请说明理由.分析(1)由(-1,0),(3,0)和(0,3)，根据待定系数法，可得抛物线解析式为.(2)假设相似，由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)，分别求出线段的长度.;[来源:学§科
6、§网Z§X§X§K];[来源:学科网ZXXK].故有,即，所以是直角三角形，得到.又,.小结本题利用两点坐标求线段的长度，再依据勾股定理的逆定理判定直角三角形，然后根据两边对应成比例且夹角相等，证明两三角形相似.【强化训练】1.（2017辽宁省辽阳市）如图，抛物线与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）A． B． C． D．或2.（2017山东省莱芜市）二次函数（a＜0）图象与x轴的交点
7、A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）3.如图，二次函数（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形4.已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上
8、，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个5.如图，抛物线与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．6.如图1，抛物线与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段
