专题3.12 巧解二次函数问题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版）

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1、巧解二次函数问题【专题综述】二次函数问题在形式上呈现多样性和复杂性，在思维方法和解题方法上又表现为灵活性，在通解通法的基础上，若要寻求简速思维，常需要采用转化策略．巧解二次函数问题，需要我们具有一定的解题经验和洞察力，本文举例说明．[来源:学科网]【方法解读】一、巧设解析式解决问题[来源:学§科§网Z§X§X§K]在一些二次函数问题中，有时题设会给出含有待定系数的解析式和相关条件，目标是求出解析式，对于这类问题，我们不一定非要受条件的束缚，可以根据已知的条件重新选择一般式、顶点式或零点式．例1已知抛物线y＝ax2＋b

2、x＋c顶点坐标为（4，－1），与y轴交于点(0，3)，求抛物线的解析式．解析题目中给出的是一般式，如果将顶点带入顶点坐标公式，将交点(0，3)带入解析式，会得到二元一次方程组，求解过程麻烦，计算量也比较大．根据顶点坐标为(4，－1)，重新设解析式为顶点式y＝a(x－4)2－1(a≠0)，此时解析式中只含有一个待定系数a，只需将交点(0，3)代入其中，便会得到关于a的一元一次方程，很容易求出a，得出所求解析式．变式二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝3，最小值为－2，且过点(0，1)，求此函数的解析式．解析此题中

3、的条件对称轴为x＝3，最小值为－2，其实就是告诉我们顶点坐标为（3，－2），将二次函数解析式重新设为顶点式即可方便解题．例2抛物线的对称轴是x＝3，且过点（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式．解析此题并没有完全给出顶点坐标，对称轴为x＝3．就是告诉了我们顶点的横坐[来源:学.科.网Z.X.X.K]标为3，同样设顶点式y＝a(x－3)2＋b(a≠0)，代入（4，－4）、（－1，2）这两个点到解析式中，我们只需要解关于a、b的二元一次方程组，如果设一般式y＝ax2＋bx＋c解决，那么将会得到关于a、b、c的三元

4、一次方程组，相对麻烦．例3二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），求b、c的值．解析解析式中的a为－1，结合最高点是（－1，－3）即为顶点坐标，不需要计算，直接表示出解析式为y＝－(x＋1)2－3，整理成一般形式，即可得到b，c的值．二、巧用对称轴解决问题二次函数的图象是轴对称曲线，解题时应充分利用图象的对称性．例4已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：求该二次函数的关系式．解析此题的常规解法是代入2个点的坐标，组成二元一次方程组，得出解析式，计算量较大．若根据表格中

5、(1，2)和(3，2)是对称的两点，可以得出对称轴为x＝＝2，则顶点坐标为(2，1)，进而得到解析式为y＝(x－2)2＋1．很快就能得到答案．例5初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝______．解法1解析式中有3个待定系数，代入3个点，组成三元一次方程组，可得解析式．解法2根据对称性，（0，－2）、（2，－2）是关于对称轴对称的两点，可以得出对称轴为x＝(0＋2)／2＝1．则顶点坐标为（1，－2），可得解析式为y＝(x

6、－1)2－2，将x＝3代入解析式，求出y的值．[来源:学科网]解法3由解法2知对称轴为x＝(0＋2)/2＝1，则顶点坐标为（1，－2）．再由对称性，x＝3时y的值即为x＝－1所对应的y值－4．[来源:学科网ZXXK]很显然，解法3显得简明、快捷，三、巧用函数图象解决方程、不等式问题求解二次函数问题，可全面考察三个“二次”的密切关系，适当利用这种关系，既能简化计算，也为后继的高中学习打好基础．例6如图1所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为(1，0)(3，0)，根据图象解答下列问题：(1)写

7、出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；[来源:Zxxk.Com](2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；(3)若方程ax2＋bx＋c＝k没有实数根，求k的取值范围．解析解决这类问题，要利用数形结合思想．(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根即为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标．(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集即为抛物线在x轴上方的部分．(3)方程ax2＋bx＋c＝k的根即为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝k交点的横坐标．若k>2，该抛物线与直线没有交点；若k＝2，该抛

8、物线与直线只有一个交点；若k<2，该抛物线与直线有两个交点，因此要方程ax2＋bx＋c＝k没有实数根，只需要k>2即可．【强化训练】1.（2017山东省泰安市）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4，其中正确的结论有（　　）A．