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《中考数学复习指导：例说以圆为载体的最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例说以圆为载体的最值问题以圆为载体的最值问题是近几年中考热点考题之一，这类题新颖、独特，综合性强，有利于培养同学们的学习兴趣，对提高同学们的解题能力也大有益处.现精选儿例如下，供参考.一、最长线段例1如图1,某数学兴趣小组，利用树影测量树高.已测出树AB的影长AC为9米，并测出此吋太阳光线与地面成30°夹角.(1)求出树高AB；(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程屮，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度.(计算结果精确到0」米，参考数据：72^1.414,73^1.732)ACE图1分析利用解直角三
2、角形可求得树AB的高，在树倒的过程中，当树AB与太阳光线相切时树影最长.解（1）在RtZUBC中，厶BAC=90。，乙C=30°.tanC=器，・•・AB=AC・lanC=9x名=5.2（米）.(2)以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切吋树影最长，点D为切点，DE丄AD交AC于E点，如图1所示，在RtAADE中，ZADE=90°,ZE=30°,・・・AE=2AD=2X5.2=10.4（米）.故树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米.二、最小面积例2如图2,已知A,B两点的坐标分别为（2,0）,（0,2）,OC的圆心C的
3、坐标为（一1,0）、半径为1.若D是OC上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,求AABE面积的分析求AABE面积的最小值就是求线段BE的最小值,将其转化为求OE的最大值,显然，当点D运动到AD与。C在横轴上方相切时，OE最大.解由题意可知，当点D运动到AD与©C在横轴上方相切时，AABE面积有最小值，如图3,连接CD.VAD与0C相切，乙CDA=90°,・•.AD=/CA1-CD2=2^2.厶AOE=乙ADC=90°,厶EAO=LCAD（公共角），••・△■4OEs△4QC,・QE=AO即@=二_…DC_仞'即］-谊解得OE弋,・•・BE=OB一OE=2
4、-%S△他=*BE'OA=2-y-,・•・^ABE面积的最小值为2-各.例3如图4,在AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°.AB=2a/2,D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画（DO分别交AB、AC于、E、F,连接EF,求线段EF长度的最小值.在直角三角形中用直径EG表示出EF的长，由“垂线段最短”可知，当AD1BC于D时，线段AD的长最短，求出AD的氏即可求得EF的氏.解如图4,作直径EG,贝I」厶EFG=90°,ZG=乙BAC=60°,EG=AD.在Rt^EFG中，EF=EG・sinZ.EGF=AD•sin60°="—-AD,作4H丄B
5、C于〃，在中，AH=AB・sinzUBC=2Q・Sin45°=2血x=2.当点D在线段BC上运动时，根据“垂线段最短”可知，线段AD的长的最小值为线段AH的长，所以线段EF的长度的最小值为四、动点最小线段和例4如图4,AB,CD是半径为5的OO的两条弦，AB=8,CD=6,MN是G»O的直径，AB丄MN于点E,CD丄MN于点F,P是EF上的一动点，求PA+PC的最小值.分析先根据对称性知识确定点P的位置，由“两点Z间，线段最短•”可知，当动点P运动到和AD与EF的交点重合时，PA+PC的值最小，利用垂径定理与勾股定理求岀AD的长即可.解如图6,由圆的对称
6、性可知，作点C关于MN的对称点必为点D,连接AD,当点P运动到AD与EF的交点时，由“两点之间，直线段最短，”可得PA+PC的值最小，即为线段AD的长.由垂径定理易得0E=3,OF=4.作OH丄于•・•AB丄MN于点E,CD丄MN于点F,:.四边形EFDH为矩形，则EH二DF=3,AH=7,DH二W在Riyadh中，AD=刁厂+DfF=+72=7圧所以PA+PC的最小值为7.五、最短距离例5如图7,圆锥的底面半径为2cm,母线AB的长为6cm,动点P从B点出发,沿着圆锥体的侧面移动到AC的中点M的最短距离是多少？图7分析解本类题的基本思路是“化曲为直”，
7、即求圆锥侧面展开图屮两点Z间的距离.解设圆锥的侧面展开后的圆心角为n°,则x2,解得/=120°.将圆锥沿线AB展开（如图8）,则乙BAC=60°,线段BM的长就为最短距离.连接BC.•/AB=AC=6,乙BAC=60°,・・・是等边三角形，图8(B)又AM=CM,.BM丄4C.在中，BM=/ABF-AM2=/62-32=3再.故最短距离是3的cm.六、最大的而积例6如图9,已知△ABC是OO的内接三角形，AB+AC=12,AD丄BC,垂足为D,AD=3,设OO的半径为y,AB的长为x,当AB为多少时，G）O的面积最大？并求岀＜3O的最大面积.分析OO
8、的面积最大时，其半径也最大，通过作直径AE,利用相似三角形，建立起y与x二次函数
