中考数学复习指导：巧解圆中的最值问题

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1、巧解圆中的最值问题求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地屮考屮的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆屮的最值问题也走进了我们的视野.基本模型如图1、2,平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O,连结AO并延长,分别交圆于B、C两点，则为AP的最小值，AC为AP的最大值，即最小值为—半径最大值为A0+半径.类型1定点定长定圆例1如图3,在ABC中，ZACB=90°,ZABC=30。，将ABC绕顶点C顺时针旋转，得到AMNC,P、0分别是AC.MN的中点，AC=2,连结PQ,则旋转时PQ长度的最大值是().(A)2a/6(B)2a/3(C)a/6(D

2、)3分析连结C0,点P是定点，点0是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运动轨迹.在这里，可以利用点0是RtMNC斜边的中点，得出C0是定值，到定点的距离等于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆•再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大值为PC+C0'=3,所以选D.例2如图4,二次函数y=ax2+/?x+c(6//0)的图象交x轴于点4(一1,0),B(4,0),交y轴于点C(0,2),过B,C画直线，并连结AC.⑴求二次函数的解析式和直线BC的解析式.(2)点F是线段BC±的一点，过点F作ABC内接正方形DEFG，使得边DE落在无轴上，点G在AG上，GF

3、交y轴于点M.①求该正方形的边2;②将线段EF延长，交抛物线于点那么点F是的屮点吗?请说明理由.⑶在⑵的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转的过程中，点P始终为CF的中点，请直接写出线段OP的最大值.分析(1)二次函数解析式为y=-—x2+—x+222直线解析式为y=--x+2⑵①也，②不是；7⑶本题中，0是定点，P是动点，取BC的中点K,连结BF,PK,由题意，得PK=-BF=-y/5,K(2,l)所以P的运动轨迹是-个以K为圆心，号厉为半径的圆，所以0P的最大值为OA：+-V5=—V5类型2泄线定角定圆例3如图5,在等腰RtAABC中，AB=BC=2，点P为等腰

4、RtAABC所在平面内一点，且满足PA丄PB,则PC的取值范圉为・分析根据条件可知线段AB是定值，且AB所对的张角ZAPS是定值，根据同弧所对的圆周角相等可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合）.又因为ZAPB=90°f所以A3恰好是直径。连结CO并延长交圆0分别为片、鬥，故C片最小，C£最大，所以PC的取值范围为V5-1

5、B=90°o因为AE=DF,易证ABE=DCF,得到ZDCF=ZABE,由正方形对称性可知△DAG=DCG,得到ZDCF=ZDAG,所以ZAHB=90°.再考虑到E、F是边他上两个动点，所以动点H的轨迹是以仞点为圆心，和为半径的丄圆，连接OD,故可求得长度的最小值是V5-1.4例5如图7,00半径为3,RtAABC的顶点A,B在OO上，ZB=90°,点G在OO内，且tanA=-,当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）4(A)V2(B)。图7分析O是定点，C是动点，确定点C的运动轨迹是本题的难点.延长AC交圆于点E,连结EO并延长，交圆于点F,连结FB.因为ta

6、nA=-,所以ZACB为定值，即ZBCE为定值.4

7、Q因为OO半径为3,ZF=ZA,所以EB一,符合定线定角定圆这种类型，故点C5的运动轨迹是过B,C,E三点的圆弧且在OO内部.不妨设圆心为连结O、E,OQ因为ZBCE+ZD=180°,ZO、=ZD所以ZBCE+ZO.=180°易得ZO

8、=ZACB=ZFEB所以AEqO为直角三角形，且tanq因为OE=31573所以最小值为％-例6边长为3的等边AABC的顶点A在兀轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，ZAOZ）=30°,则顶点C到原点O的最大距离为.分析此题定点是点0,动点是点C,尽管AB=3是确定的，但由于点

9、人B都是在动的，故确定点C的运动轨迹时难度仍较大.不妨换个角度来看问题，正难则反，把正AABC看成是不动的，此时平面直角坐标系在动，原点0在运动时满足ZA0B=30°,而ZA0D所对的边AB是不变的，符合定线定角定圆这种类型，所以点0的运动轨迹是过点4,B,O三点的圆弧（优弧84上），取圆心E,连结EA,EB因为ZAOB=30°,所以ZAEB=60°,即4ABE是边长为2的正三角形，CE=2y[3・连结CE并延长，交圆于点0‘，此吋CO'最大，最大值为CE+半径二2^3+2图8从上面的几个例子中可以发现,模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不