专题3.25 例说融合三类函数的综合问题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、例说融合三类函数的综合问题【专题综述】将一次函数、二次函数、反比例函数融合在同一问题中，构成综合型试题，是近几年中考中的热点考题.本文从近几年的中考题中撷取数例略加解析，供参考.【方法解读】一、寻找函数例1下列函数中，当时，随的增大而减小的是()(A)(B)(C)(D)分析根据正比例函数，一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性对各选项分析判断后，利用排除法求解.[来源:Zxxk.Com]解(A)，随增大而增大，故此选项错误;(B)，随增大而增大，故此选项错误;(C)，图象位于二、四象限，在每一

2、个分支，随增大而增大，故此选项错误;(D)，抛物线的开口向下，对称轴为直线，在对称轴的左侧(即)，随增大而增大，在对称轴的右侧(即)，随增大而减小，故此选项正确.故选D.点评本题主要考查了函数的增减性.需要特别注意，反比例函数需要分象限讨论增减性;二次函数要考虑对称轴，对称轴的左右两边的增减性不同.二、选择图象例2二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图1所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是()分析根据二次函数图象开口方向，确定出的取值，利用“左同右异”或对称轴确定出

3、，再根据抛物线图象与轴的交点确定出的取值，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解.解由二次函数图象开口向下，知.又因为抛物线的对称轴在轴的右侧，故可得.再由抛物线图象与轴的正半轴相交，得.所以，一次函数的图象经过第一、二、四象限，与轴的正半轴相交;反比例函数的图象位于第一三象限:于是，只有C选项图象符合，故选C.点评本题主要考查的是二次函数、一次函数、反比例函数的性质，掌握相关性质是解的关键.三、判断正误例3一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图2所示，点的坐

4、标为，则下列结论中，正确的是()(A)(B)(C)(D)[来源:学&科&网]分析由一次函数图象所在的象限可以确定、的符号，且直线与抛物线均经过点,所以把点的坐标代入一次函数或二次函数可以求得,的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定.求出二次函数的顶点坐标为，将代入反比例函数中，求出其函数值，此时利用反比例函数与二次函数的图象位置即可确定出与大小.解将代入一次函数中得，.因为一次函数图象过一、二、三象限，所以,.由图2知，双曲线位于第一、三象限，，即，故A选项错误.,又不成立，故B选项错误.，故C

5、选项错误.抛物线的对称轴为直线.当时，设此时二次函数的值为，则.设反比例函数的值为，则.由图象可知，当时反比例函数的图象在二次函数图象的上方，且都在轴的下方，所以，即，故本选项正确.所以正确选项为D.点评本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象与性质.解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息.四、求函数式例4如图3，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点.(1)求正比例函数和反比例函数的解析式.(2)把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式.[来源:学

6、,科,网Z,X,X,K](3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，求过、、三点的二次函数的解析式.(4)在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使四边形的面积与四边形的面积满足?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由.分析(1)用待定系数法解答.(2)将代入反比例函数中，即可求得的值;再用待定系数法即可求出解解析式.(3)、坐标已求出，点坐标可根据一次函数解析式求得，借助二次函数的一般解析式用待定系数法即可求解.(4)画出图形，求出相应线段长.将不规则四边形面积转化为矩

7、形面积与三角形面积的差或和即可解决.解(1)易求出函数的解析式分别为.(2)因为点在的图象上，所以,则点.设一次函数解析式为.因为的图象是由平移得到的，所以，即又因为的图象过点，所以，解得，所以一次函数解析式为.(3)因为一次函数的图象交轴于点，所以的坐标为.设二次函数的解析式为将点，，代入得，解得[来源:学

8、科

9、网Z

10、X

11、X

12、K]这个二次函数的解析式为(4)因为直线交轴于点，所以点的坐标是.如图4所示，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交于点.则假设存在点，使.因为四边形的顶点只能在轴上方，故，连

13、结，，则[来源:学#科#网][来源:Zxxk.Com][来源:学

14、科

15、网]∴，解得因为在二次函数的图象上，则，解得，.当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去.所以，存在这样的点，它的坐标为.点评此题将初中阶段三个主要函数结合起来，考查了用待定系数法求函数解析式、函数与坐标的关系以及不规则图形面积的求法等知识点，综合性较强。【强化训练】1.．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（　　）A．B．C．D．2.