专题3.18 例说求解抛物线最值问题的转化策略-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、例说求解抛物线最值问题的转化策略【专题综述】二次函数是初中数学的核心知识，也是中考的必考内容，其中应用二次函数求最值是师生共同的难点，笔者从”一波三折”经历中吸取经验，领悟解题方法，将面积最值，以及点到线距离的最值问题转化为线段的最值问题.【方法解读】题目如图1，在直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与轴相交于点.[来求抛物线的解析式和对称轴.在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大?若存在，请

2、求出点的坐标;若不存在，请说明理由.[来源:学科网][来源:学

3、科

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5、X

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7、K]分析1(1)、(2)解题过程略.问题(3)难点为借助直角坐标系的“优势”表示出的面积，即.关键点是，以为底边，以点的纵坐标的绝对值为高，即可求出的面积;以为底边，以点的横坐标的绝对值为高，即可求出的面积.[来源:学科网ZXXK]解法1(3)假设在直线的下方的抛物线上存在点，使面积最大.则点如图2，连结、、，则时，易得对称轴∴当时，的面积取最大值.由，得[来源:学科网]∴就本题而言，用上面的解法快速简便，但不是解决最值的通

8、用方法，中考压轴题类型繁多，复习时间紧，过多的细化会给学生带来很大的负担，故教师在授课过程中要有意识创造性地将单一的、机械的、肤浅的知识融会贯通，以揭示问题的本质与关键.分析2过抛物线上点作直线轴，与相交于点，则，用点的横坐标表示的二次函数表达式，进而求得面积最值.可将的面积分两部分来求:一部分是，以为底边，以点的横坐标的绝对值为高即可求出的面积;一部分是，以为底边，以点、的横坐标差的绝对值为高即可求出的面积.当然，由的高与的高之和为以点、的横坐标差的绝对值可求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质可

9、求得的最大值.具体地，先根据点、的坐标求出直线的方程;然后将分别代入抛物线与直线方程中，的长就是、的纵坐标差的绝对值.由，，根据，整体计算更方便.解法2(1)、(2)解题过程略.(3)假设存在这样的点，易得直线的方程为，过抛物线上点作直线轴，与相交于点，如图3.由(1)得抛物线的解析式为，由此可设点，则点易得对称轴∴当时，∴由，得∴在解法2中不难看出的面积与铅垂线段密切相关，即的面积的最值的本质是铅垂线段的最值.连结，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点(如图4)，使到的距离最大.将看做的底时，则到的距离

10、为的高;当到的距离最大时，的面积也最大;当的面积也最大时，铅垂线段最长，故点到直线的距离最值可以转化为铅垂线段的最值问题.三角形面积最值问题可转化为铅垂线(水平线)的最值问题;斜线段最值问题可转化为直线段最值问题.即铅垂线(水平线)最值，面积最值与斜线段最值之间可互相转化，其本质上是线段的最值.【强化训练】1．（2017四川省泸州市）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）A

11、．3　　　　　　B．4　　　　　　C．5　　　　　　D．6【答案】C．【解析】考点：1．二次函数的性质；2．三角形三边关系；3．动点型；4．最值问题．2.（2017山东省泰安市）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）A．19cm2　　　　　　B．16cm2　　　　　　C．15cm2　　　　　　D．12cm2【答案】

12、C．[来源:Zxxk.Com]【解析】试题分析：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC==6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故选C．考点：1．二次函数的最值；2．动点型；3．二次函数的最值；4．最值问题．学#科%网3.如图，直线y＝x＋2与抛物

13、线y＝ax2＋bx＋6相交于A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；(3)当△PAC为直角三角形时，求点P的坐标．【答案】(1)y＝2x2－8x＋6(2)存在符合条件的点P(，)，使线段PC的长有最大值.(3)满足条件的点P有两个，为P1(3，5)，P2(