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《专题7.3 折线最小值问题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题03折线最小值问题【专题综述】初中数学中有关折线段的最值问题较为，这种题应用到的基本数学知识是线段公理和轴对称，尽管比较简单但这类问题往往伴随转换的思想学生很难熟练掌握。我们不妨将此类型问题归纳为“折线求最小值问题”，解题的基本方法是“利用对称化折线为直线，通过两点之间线段最短得出结论”。【方法解读】一、直接应用此结论例1：如图，A、B在直线L的同侧，点B′是点B关于L的对称点，AB′交L于点P．（1）AB′与AP+BP相等吗？为什么？（2）在L上取一点Q，并连接AQ和QB，那么AQ+QB与AP+P
2、B哪一个大？为什么？解：(1)AB′与AP+PB相等,连接BB′，(2)AQ+QB>AP+PB，连接QB′，如图所示，∴AQ+QB>AP+PB.【解读】本题实际上是在直线L上找一点P，使点P到直线L的同侧两个定点A、B的距离之和最小．（1）由轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，可得PB=PB′，即可得证AB′=AP+PB；（2）连接QB′，由轴对称的性质可得：QB=QB′，然后根据两点之间线段最短（三角形的三边关系）可得：AQ+QB′>AB′，即AQ+QB>AP+PB．【举一反三】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角
3、线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．【答案】5【来源】2016届山东省夏津县万隆中学九年级下学期阶段检测数学试卷（带解析）【解析】要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解．解：如图：∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN=AB,EN∥AB，而由题意可知,可得AB==5，∴EN=AB=5，∴PM+PN的最小值为5.故答案为：5.学2科*网二、间接应用此结论例2：公园里有两条河流OM、ON在点O处汇合，∠MON＝60°
4、，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修3段小路分别连接两座小桥Q、R和古迹P，若古迹P到两条小河的距离都是50米，求这3段小路长度之和的最小值.解：设点P关于OM、ON的对称点分别为A、B,连结AB,分别交OM、ON于点Q、R根据已知可得 PA=PB=100×∠APB=120°∠PAB=∠PBA=30°∴△PAB是等腰三角形(有两边相等的三角形叫做等腰三角形)作PK⊥AB,垂足为K则在Rt△PAK中,PK=×PA=50×∴ AK=150 (直角三角形勾股定理求值)在△PAB中,AB=2AK=300即
5、这三段小路长度之和的最小值为300米.【解读】本例很明显是折线求最小值问题，同时，由2条线段之和的最小值演变为求3条线段之和的最小值，运用“两点之间，线段最短”公理，仍可采用对称化折线为直线的方法来解决.【举一反三】1.如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，
6、求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值；如果不存在,请说明理由．【来源】2017届河北石家庄市桥西区二十四中九年级中考模拟数学试卷（带解析）【答案】（1）E(3，1),F(1，2);（2）；（3）存在，最小四边形MNFE的周长最小值是5+．①当EF是腰，EF=PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．当EF是腰，EF=EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的
7、距离，P才存在．②当EF是底边时，EP=FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值．（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．本题解析：(1)E(3,1);F(1,2).(2)在Rt△EBF中,∠B=90∘，∴EF=设点P的坐标为(0,n)，其中n>0，∵顶点F(1,2)，∴设抛物线解析式为y=a(x−1)+2(a≠0).①如图1，②如图2，当EP=FP时,EP=FP，∴(2−n)+1
8、=(1−n)+9.解得n=(舍去)③当EF=EP时,EP=<3，这种情况不存在。综上所述,符合条件的抛物线解析式是y=2(x−1)+2.(3)存在点M,N,使得四边
