中考数学热点专题突破训练――“最值”问题

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1、中考数学热点专题突破训练一一“最值”问题一、“最值”问题大都归于两类基本模型：I、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值1【、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。二、利用函数模型求最值例1、如图(1),平行四边形ABCD中，Afi=4,BC=3,ZBAD=120°,E为BC上一动点(不与B重合)，作EF丄4B于F,设BE=x,ADEF

2、的面积为S.当E运动到何处时，S有最大值,(1)最大值为多少?三、利用儿何模型求最值(1)归入“两点之间的连线中，线段最短”例1、几何模型：条件：如下左图，A、B是直线/同旁的两个定点.问题：在直线/上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线/的对称点连结A'B交Z于点P,则PA+PB=A'B的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC±一动点.连结由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值是(2)如图2,OO的半径为2,点A、B、C在00上，Q4丄OB,ZA0C=60°,P是

3、OB上一动点，求PA+PC的最小值；(3)如图3,ZAOB=45°,P是ZAOB内一点，PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,例2如图（1）所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区己知43=10千米,直线AB与公路MN的夹角ZAON=30。，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米。（1）求新开发区A到公路MN的距离；（2）现从MN上某点P处向新开发区4,3修两条公路使点P到新开发区人B的距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA+PB的值。例3如图，（1）,在中，AC=BC=2,ZACB=90°,P为BC边上一定点,（不

4、与点B,C重合），0为A3边上一动点，设的长为a（0

5、过0,C,D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段P0与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。四、真题演练1.如图，已知点人(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2±.(1)求g的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在兀轴上找一点Q,使得AQ-^QB最短，求出点Q的坐标；⑵平移抛物线y=，记平移后点A的対应点为"，点B的对应点为点C(-2,0)和点D(-4,0)是兀轴上的两个定点.①当抛物线向左平移到某个位置时，4C+CB，最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形AfBfCD的周长最短？若存在，求出此

6、时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.2.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建--座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸吋，以河道上的大桥0为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)。两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7)o(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥0多远的地方可使所用输水管道最短?(2)水泵站建在距离大桥0多远的地方,/km3•如图，已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图像的顶点M在反比例函数y=—上，且与兀轴x交于AB两点。(1)若二次函数的对称轴为x=

7、--，试求的值；2(2)在(1)的条件下求AB的长；(3)若二次函数的对称轴与x轴的交点为山当N0+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。4.如图，抛物线y=~Y^+bx-2与才轴交于儿〃两点，与y轴交于Q点，且力(一1,0).(1)(2)(3)求抛物线的解析式及顶点〃的坐标;判断△A3C的形状，证明你的结论;点M(m,0)是x轴上的一个动点，当肘C+沏9的值最小时，求加的值.5.如图11.己知抛物线y=-x2-}-bx+9-b2(b为常数)经过坐标原点0