中考数学专题训练：定值和最值问题解析汇报版

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1、实用标准定值问题解1、如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的

2、值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==4，∴OC=OP+PC=4+4=8。又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。t的取值范围为：0＜t＜4。（2）结论：△AEF的面积S不变化。∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。∴，即，解得CE=。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE－OA•OE=[4

3、＋（8－t）]×8+（8－t）•－×4×（8＋）。化简得：S=32为定值。所以△AEF的面积S不变化，S=32。（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。文档实用标准∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8=t：4－t，化简得t2－12t＋16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去。∴当t=秒时，四边形APQF是梯形。2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上

4、滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【答案】解：（1）证明：如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。∴△ABC和△ACD为等边三角形。∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。∴在△ABE和△ACF中，

5、∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。作AH⊥BC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．文档实用标准故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，

6、则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。∴△CEF的面积的最大值是。（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【】A.B.C.D.【答案】D。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】∵把A，B分别代入反比例函数得：y1=2，y2=，∴A（，2），B（2，）。∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：

7、AP－BP

8、＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P

9、在P′点时，PA－PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大。设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：。∴直线AB的解析式是。当y=0时，x=，即P（，0）。故选D。2、如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；文档实用标准【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点A．B的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B

10、1（﹣1，0），C点坐标不变，∴抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三点，设抛物线