专题18最值和定值问题与高考走势

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1、专题18　最值和定值问题与高考走势●蒋荣清　（台州市教育局教研室　浙江台州　318000）【高考展望】最值和定值是反映变量在变化过程中的两个特定状态，最值着眼于变量的最大（或最小）值以及取得最大（或最小）值的条件；定值着眼于变量在变化过程中的不变量．最值和定值问题是中学数学解题中碰到的最普遍、最重要的题型之一，并且表现的形式与解决的方法也是千变万化的．说它普遍，是最值和定值问题涉及到知识载体有函数、导数、数列、不等式、三角、立体几何、解析几何、向量等，几乎包罗所有知识的方方面面．有些应用问题也常以最值作为设问的方式．分析和解决最值问题

2、和定值问题的思路和方法也是多种多样的，可以检测学生知识掌握的程度和思维能力层次．另一方面，最值问题在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用．因此命制最值问题和定值问题能较好体现数学高考试题的命题原则．近几年的每一份数学高考试题中，都会出现各种各样的最值问题和定值问题，并且所占的分值均在10分~25分左右，如将取值范围等问题也归类到最值中去，所占比重更大．应对最值问题和定值问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，认真分析题目的情景，灵活选择合理的解题方法．最值和定值问题仍然是09年高考复习的重点与热点问题，既要进行专题归纳

3、，更要在平时的教学中加以落实．定值问题关注的重点应在解析几何方面．【典例剖析】例1若是与的等比中项，则的最大值为（）Ａ．Ｂ．　　　　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．(2007年重庆理7)分析一是与的等比中项，即．显然，当时，不会取到最大值，故只需讨论情况．由，得，＝，当或时等号成立．故选Ｂ分析二是与的等比中项，则7分析三由已知可设则＝，易知只需考虑，故分析四由已知可设则＝设，则且，故＝，由函数单调性得所求最大值为．评注①本题是二元二次条件最值问题，不易消元．分析一是用了二次均值不等式得以解决；分析二是均值不等式与二次函数知识得以解决；分析三

4、是通过三角换元将二个变量化为一个变量，再用均值不等式与正弦函数有界性得到解决；分析四三角换元之后，再次换元解决．　　②分析一和分析二均采用了将分子、分母同除以一个式子，将分子变为常数．其实这是化繁为简的一个策略．③运用基本不等式求最值特别要注意等号成立条件．另外换元之后，要注意新变量的取值范围．例２已知双曲线，为上的任意点．（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值；(2008年上海理18)分析（1）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别和.点到两条渐近线的距离分别是，7它们的乘

5、积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.（2）设P点的坐标为，则，当时，的最小值为，即的最小值为.评注①本题是既有最值又有定值的问题，属中档题．涉及到的知识有双曲线渐近线概念，点到直线距离公式，两点间距离公式，二次函数等；②容易出错的是第（2）小题中的取值范围，因P点在双曲线上，隐含着这一条件．如将A（3，0）改为A（），求的最小值就要对进行分类讨论．例3求函数的最小值．分析此函数不熟悉，二条路可选择，一条是对解析式进行变形或通过换元进行化简；另二条通过函数性质入手．第一条不太好走，从第二条入手．不难知道该函数是奇函数，当时

6、，；当时，，因此最小值一定在时取到．当时，，，在上为增函数，因此当时，．评注①求函数最值的重要依据是函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性、连续性等）；②研究函数单调性另一个重要方法就是利用导数这一利器，本题也如此．，在上单调递增．例4请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为73m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？(2006年江苏理)分析在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．将帐蓬的体积

7、用表示（即建立目标函数），然后求其最大值．解设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，故底面正六边形的面积为：=，帐篷的体积为：O求导得．令，解得（不合题意，舍去），，当时，，为增函数；当时，，为减函数．∴当时，最大．答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．评注本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力例5　已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明·为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(

8、λ)的表达式，并求S的最小值．(2008年上海理18)分析本题是解析几何中最常见的一种题型，探索定值及参数取值范围问题，由抛物线方程已知，可得焦点F的坐标；若直线平行于轴，易得·的值为0，可由此特殊情况猜想结论，用λ作参