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《专题26--椭圆中定值和最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题26-椭圆中定值和最值问题一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1.与椭圆有关的直线过定点(1)Wo=&(x—也)表示过定点(・q,为)的直线的方程；(2)(/]x+(7])4~+C2)=0表不过直线力1兀+Bj+G=O和Ci=0交点的直线的方程.2.与椭圆有关的圆过定点x,--yL--Dx--Ey--F+X(AX--By+C)=^表示的是过直线/pr+〃卩+G=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=^交点的圆的方程.3.与椭圆有关的参数的定
2、值问题二、椭圆中的最值问题1.参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如乩a,b,c,(x,同的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解.2.长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于参数(如&或3,肿)的函数，运用函数或基本不等式求最值.要点热点探究»探究点一与椭圆有关的定值问题在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题•2例1已知椭圆的左顶点为力，过昇作两条互相垂直的弦如“、/N交椭圆于M、N两点.(
3、1)当直线的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由.【解答】(1)当直线的斜率为1时，直线AM的方程为y=x+2f代入椭圆方程并化简得：5x2+16a+12=0,解得旳=一2,x2=—所以M(—划§)•(2)设直线的斜率为乩贝y=k(x+2)fy=k(x+2)f则2化简得：(1+4A2)x2+16A2x+16A2-4=0.j+y=i，2—Rit?因为此方程有一根为一2,所以同理可得*,、「=霁¥・由(1)知若存在定点，则此点必为(2—8只,闵机rvAU+4pJ
4、因为kMP--2_8A2—心+恳同理可计算得畑=4二护所以k"p=kpN，M、PTV二点共线，所以直线MN过x轴上的一个定点P（-
5、,0）.例2椭圆的两焦点坐标分别为尺（一需，0）和尸2心，0）,且椭圆过点（1,一割.力为椭圆的左顶点,试判断ZMAN的大小是否为定值，并说明理由・£【解答】（1）由题意，即可得到椭圆方程为j+/=l.⑵设直线MV的方程为：*=幼一暮{x=ky—^f2■得（疋+4妙2_¥幻,_琴=0,村=1,设M（X1，J，1）,N（x2f必），miI丄2k64人）必+丿2—5（疋+4）'yyi~25&+4）'又M（—2,0）,—►—►aX贝!
6、J/M•如V=（xi+2,丁1）・（七+2,丿2）=（疋+1）丿"+扌01+丿2）+石=64&+1）4Alk,J6_=—25（X+4）十f°5（疋+4）十25=0,即可得»探究点二与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于k的函数；二是关于点（X,y）的函数.例3如图26-1,在平面直角坐标系xOj，中，椭圆的中心在原点O,右焦点F在x轴上，椭圆与丿轴交于力，B两点，其右准线/与x轴交于卩点，直线3F交椭圆于Q点，P为椭圆上弧ACAl的一点.（1）求证：A,C,卩三点共线；（2）如果BF=3FCf四边形APCB面积的最大值为卑三求此时椭
7、圆的方程和点P的坐标.B图26-122【解答】⑴证明：设椭圆方程为卡+幻=l（E>0）,①t3、7+?｝代入①得:AT：》+扌=1,②BF：予+¥^=1’③解得/卩与BF的交点,（7+?）2V?+（«2-c2）2+b2=~=1，满足①式，则/T与BF的交点在椭圆上，即为点C,则力，C,T三点共线.（2）过（7作CE丄x轴，垂足为E,则厶OBFs'ECF.7,代入①得:9：BF=3FCf:.CE=^bf£F=
8、c,贝lj,£）,代入①得：9•*•tf2=2c*2,—c"»14c42，S^abc=~2^c*~^=~^c设P（Xo，Jo），则xl+2yi=2c2f此时直
9、线/1C的方程为：x+2y—2c=0,p到直线化的距离为注。+黑-虻沁渔c_1.“lxo+2yo—2c2r-S'apc一2""C_2°托3^5c也+2为一2c3所以只需求也+2为的最大值即可.法~':'：（X。+2jo）2=Xo+4jo+2・2a*2oWx：++2（x：+j%）=3（x：+2j彳）=6c2,.•.xo+2jo^V^^，当且仅当X（）=Jo=^^c时，（X。+2j^o）max=V^C・法二令xo+2^o=A代入xl+2yi=2c2得:（L2j0）2+2农一2疋=0,即切彳—4（內+"—2c2=0.J=（-402-24（/-2?）^0,得一当（=昭时，
10、代入原方程
