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《椭圆中的最值问题与定点、定值问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x、y的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为三角函数的最值问题处理。一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c（远日点）、最小值a-c（近日点）。推导：设点(,)为椭圆x
2、2y2上的任意一点，左焦点为(,0)，Px0y0a2b21(ab0)F1c
3、PF1
4、(x0c)22，由x02y021得y02(1x02y0a22ba2)，将其代入b
5、PF1
6、(x0c)2y02并化简得
7、PF1
8、cx0a。所以，当点P(x0,y0)为长轴的右端点caaA2(a,0)重合时，
9、PF1
10、maxaca；当点P(x0,y0)为长轴的左端点A1(a,0)重a合时。
11、PF1
12、minc(a)aac。当焦点为右焦点F2(c,0)时，可类似推出。a1.（2015浙江卷）如图，已知椭圆x2y21上两个y2不同的点A、B关于直线ymx1对称。O2（1）求实数m的取值范围；AB（2）求AOB面积的最大值
13、（O为坐标原点）。解：（1）由题意知m0，可设直线AB的方程为y1xb。mx2y21，消y去，得(11)x22bxb21联立210。yxb2m2mm因为直线y1xb与椭圆x2y21有两个不同的交点，m2所以2b2240。-------①m24mb设(,y1),(,y2)，线段AB的中点M(xM,yM)，则x1Ax1Bx2x2，m22x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯xMx1x22mb2mb,2所以2m222。将线段AB的中点M(mb)代入直线yM1xMbmbm22m22mm22ymx1，解得bm22。------②22m2由①②得m
14、6或m6。33(2)令t1(6,0)(0,6)，m221(1)22t42t23则
15、AB
16、(x1x2)24x1x2=t2112，mt22t21且O到直线AB的距离为dt22。1设AOB的面积为S(t)，所以S(t)1
17、AB
18、d12(t21)222，2222当且仅当t21时，等号成立。故AOB面积的最大值为2。222.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解(1)由4x2＋y2＝1，得22，5x＋2mx＋m－1＝0y＝x＋m因为直线与椭圆有公共点，所以22，解得－55＝4m－20(m－1)≥02≤m≤2
19、.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，x1＋x2＝－2m12－1)，所以5，x1x2＝5(m2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以
20、AB
21、＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝4m2421＝222m510－8m.255所以当m＝0时，
22、AB
23、最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确
24、地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.x2y2跟踪训练2如图，点A是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且→→BP∥x轴，AB·AP＝9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.解∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，→→即△BAP是等腰直角三角形，
25、AB＝2
26、AP
27、.
28、→→＝9，∵AB·AP→→＝°→2＝°，∴
29、AB2
30、AP
31、cos45
32、
33、
34、AP
35、cos459→∴
36、AP＝3.
37、→→(1)∵P(0,1)，∴
38、OP
39、＝1，
40、OA
41、＝2，即b＝2，且B(3,1).912∵B在椭圆上，∴a2＋4＝1，得a＝12，22∴椭圆C的标准方程为x＋y＝1.124(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴t－3＝－b，即
