专题18最值和定值问题与高考走势

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1、专题18 最值和定值问题与高考走势●蒋荣清 (台州市教育局教研室 浙江台州 318000)【高考展望】最值和定值是反映变量在变化过程中的两个特定状态,最值着眼于变量的最大(或最小)值以及取得最大(或最小)值的条件;定值着眼于变量在变化过程中的不变量.最值和定值问题是中学数学解题中碰到的最普遍、最重要的题型之一,并且表现的形式与解决的方法也是千变万化的.说它普遍,是最值和定值问题涉及到知识载体有函数、导数、数列、不等式、三角、立体几何、解析几何、向量等,几乎包罗所有知识的方方面面.有些应用问题也常以最值作为设问的方式.分析和解决最值问

2、题和定值问题的思路和方法也是多种多样的,可以检测学生知识掌握的程度和思维能力层次.另一方面,最值问题在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用.因此命制最值问题和定值问题能较好体现数学高考试题的命题原则.近几年的每一份数学高考试题中,都会出现各种各样的最值问题和定值问题,并且所占的分值均在10分~25分左右,如将取值范围等问题也归类到最值中去,所占比重更大.应对最值问题和定值问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,认真分析题目的情景,灵活选择合理的解题方法.最值和定值问题仍然是09年高考复习的重点与热点问题,既要进行专题

3、归纳,更要在平时的教学中加以落实.定值问题关注的重点应在解析几何方面.【典例剖析】例1若是与的等比中项,则的最大值为()A.B.       C.      D.(2007年重庆理7)分析一是与的等比中项,即.显然,当时,不会取到最大值,故只需讨论情况.由,得,=,当或时等号成立.故选B分析二是与的等比中项,则7分析三由已知可设则=,易知只需考虑,故分析四由已知可设则=设,则且,故=,由函数单调性得所求最大值为.评注①本题是二元二次条件最值问题,不易消元.分析一是用了二次均值不等式得以解决;分析二是均值不等式与二次函数知识得以解决;

4、分析三是通过三角换元将二个变量化为一个变量,再用均值不等式与正弦函数有界性得到解决;分析四三角换元之后,再次换元解决.  ②分析一和分析二均采用了将分子、分母同除以一个式子,将分子变为常数.其实这是化繁为简的一个策略.③运用基本不等式求最值特别要注意等号成立条件.另外换元之后,要注意新变量的取值范围.例2已知双曲线,为上的任意点.(1)求证:点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点的坐标为,求的最小值;(2008年上海理18)分析(1)设是双曲线上任意一点,该双曲的两条渐近线方程分别和.点到两条渐近线的距离分别是,7

5、它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.(2)设P点的坐标为,则,当时,的最小值为,即的最小值为.评注①本题是既有最值又有定值的问题,属中档题.涉及到的知识有双曲线渐近线概念,点到直线距离公式,两点间距离公式,二次函数等;②容易出错的是第(2)小题中的取值范围,因P点在双曲线上,隐含着这一条件.如将A(3,0)改为A(),求的最小值就要对进行分类讨论.例3求函数的最小值.分析此函数不熟悉,二条路可选择,一条是对解析式进行变形或通过换元进行化简;另二条通过函数性质入手.第一条不太好走,从第二条入手.不难知道该函数是奇

6、函数,当时,;当时,,因此最小值一定在时取到.当时,,,在上为增函数,因此当时,.评注①求函数最值的重要依据是函数的性质(如单调性、周期性、奇偶性、连续性等);②研究函数单调性另一个重要方法就是利用导数这一利器,本题也如此.,在上单调递增.例4请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为73m的正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?(2006年江苏理)分析在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题,可考虑建立目标函数,转化为求函数的最值.

7、将帐蓬的体积用表示(即建立目标函数),然后求其最大值.解设OO1为,则由题设可得正六棱锥底面边长为:,故底面正六边形的面积为:=,帐篷的体积为:O求导得.令,解得(不合题意,舍去),,当时,,为增函数;当时,,为减函数.∴当时,最大.答:当OO1为时,帐篷的体积最大,最大体积为.评注本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力例5 已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明·为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S

8、,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.(2008年上海理18)分析本题是解析几何中最常见的一种题型,探索定值及参数取值范围问题,由抛物线方程已知,可得焦点F的坐标;若直线平行于轴,易得·的值为0,可由此特殊情况猜想结论,用λ作参

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