学会运用旋转变换解题.pdf

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1、第5搠初中般学教与学学会运用旋转变换解题邵伟(北京市育英学校，100036)旋转变换在初中几何中占有非常重要的某个顶点的旋转，学生是很容易识别的，但对地位，它贯穿于三角形、四边形、圆等所有重于那些旋转中心不是顶点的，还是有些困难要的几何问题之中．在近几年的各地中考试的．卷中，运用旋转变换求解的试题所占的比重例2如图3，△ABc是AABC绕点0不断上升，这些试题往往构思巧妙，令人耳目按一定角度旋转后形成的图形，求作点D．一新．本文试图从三个层次来帮助同学们掌曰＼八握旋转变换的特征和规律，从而轻松解决问题．护一、按指令

2、旋转．B例1如图1，将IXABC绕点C逆时针旋C转9o。，作出旋转后的图形．图4图3解析如图4，因为对应点A，到旋转中心0的距离相等，所以点0在AA的中垂线上，同理点0也在cc的中垂线上．故连结，cc，作AA’，Cc的中垂线，交点即为点C曰A0．通过例2的练习，学生对于旋转的识图能力图1图2有了进一步的提升，解决例3和例4这类问解析如图2，△ACB为所求．题，就很容易了．由本题我们可以归纳出图形旋转的特例3如图5，菱形ABCD中，E、，分别为征：BC、CD上的点，且B=EAF=60。，求证：(1)图形中每一点都绕着

3、旋转中心旋转AE=A了同样大小的角度；^(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)对应角相等；(4)图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转前后的图形全等．CC深人研究一下，还可以得到：对应的直线图5图6也旋转了相同的角度，比如此题中的直线AB解析如图6，连结AC，证明AABE和直线AB也互相垂直．AACF(ASA)即可．事实上，AACF可以看成二、会识别旋转是AABE绕点A逆时针旋转6o。而成的，其实通过例1的练习，对于旋转中心为图形的·23·初中数学教与学2014年旋转提供了我们认识全等的一个新的角度，AABD和△

4、A∞中，但却无法证明△ABD和即从动态的角度来重新认识全等．观察图2，△A∞全等，所以需要把条件转移之后再利图4，我们可以发现旋转必然会产生有“公共用．而AB=AC提供了将AABD旋转的依据，顶点的等线段图形”(等腰三角形)．反之，有因此，将AABD绕点A逆时针旋转到△A∞，“公共顶点的等线段图形”(线段的中点，等腰连结DD．易证CDD=CDD，从而cD=三角形，菱形，正方形等等)中必然隐藏着旋CD，故CD=BD，即DBC=LDCB．转型全等，我们只需找到它们，问题便随之解，)决．C例4如图7，以AABC的边AB、

5、AC为边分别作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG．试判断AABC与AAEG面积之间的关系，CP8并说明理由．图9图l0例6如图lO，已知PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．BCBC(1)如图10，当LAPB=45。时，求PD的图7长；图8(2)当Z_APB变化，且其它条件不变时，解析如图8，不难看出AABC与△4EG求PD的最大值，及相应LAPB的大小．的面积相等，可以考虑让它们的底边相同，因解析在AAPD中，虽然知道PA，AD的此作CM上AB交AB于点M，作GN上

6、EA交EA长度，但却没有角度，因此无法求解PD．又AB的延长线于点只需证GN=CM，而这由=AD，所以可以尝试将APAD绕点A顺时针AAMCAANG即可得到．其实，△AMC与旋转90。到AEAB，并连结EP，在AEPB中求AANG也是一对旋转型的全等．出EB为2√S，可得肋也为2．在第(2)问三、会构造旋转中，依此思路，易求得EB的最大值为6，当且事实上，让大部分同学感到困难的并不仅当E，P，B三点共线时，即当LAPB为135。，是去发现题目图形中隐藏着的旋转，而是何PD最大值为6．时需要去构造旋转型全等．上面的解

7、题经验如果题目中出现了线段中点时，我们可告诉我们，当题目中出现了“公共顶点的等线以把某个三角形绕着中点旋转180。，构造中段图形”，比如线段的中点，等腰三角形，菱心对称型全等(同时形成“附属产物”平行四形，正方形等等，那可能就需要我们去主动构边形)，使题目条件集中，从而解决问题。我们造旋转型全等；特别是当题目的条件比较分熟悉的“倍长中线”便是其中的一种特殊情散或是条件虽然是集中的，但却无法解决所形．求问题时，通过构造旋转，可以使得题目的条例7如图l1，点D是AABC的边AC上件重新集中，从而解决问题．一点，且AB=

8、CD，LBAC=60。，点E是日的例5如图9，在等腰AABC中，AB=中点，若AE=4，求BC的长．AC，D是△ABC内一点，且ADB=LADC，解析题中的“AB=CD，LBAC=60’求证：DBC=LDCB．这两个条件比较分散，无法使用，考虑到点层是BD的中点，因此延长AE到F，连结FB，FC，解析虽然题目中相等的元素集中在·24．第5明初中数学教与学巧妙