中考数学复习指导：巧作辅助线解梯形问题

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1、巧作辅助线解梯形问题梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形的综合.通过适当地添加辅助线，可以把梯形问题转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识,可以顺利解决梯形的有关问题.本文试就梯形问题中辅助线添加的常用类型进行讨论.一、平移一腰过梯形上底的一个顶点作一腰的平行线，构造出一个平行四边形和一个三角形，即平移一腰来解决问题.例1如图1,梯形ABCD中，AB//CD,ZD=80°,ZC=50°.求证:AD=CD-AB.图1证明如图1,过点A作AE//BC交DC于点E,则ZAED=ZC=50°.•・・ZD=80°,ZDAE=

2、50°,・・•ZAED=ZDAE,:.DA=DE.•・・AB//CD,AE//BCf・・・四边形AECB是平行四边形，/.AB—EC,/.AD—CD—AB.二、平移对角线过梯形上底的一个端点作某一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形，从而引出解题思路.例2如图2,梯形ABCD中，AB//CD,中位线EF=7cm,,对角线AC丄BD,ZBDC=30°,求梯形的高图2解过点〃作BG//AC交DC的延长线于点G,则AB=CG.•・•AC丄BD,.・・BG丄BD.・・・ZBDC=30°,・・・BG=丄GD=丄(AB+CD).22AB+CD=2EF,「・BG

3、=EF=7cm.・・・ZGBH=ZBDC=30°,GH=-BG=3.5cm,2・・・BH=W-3.5?=上迴,即梯形的高为刃1cm.22三、延长两腰延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，利用这两个三角形的有关条件和性质解题,也是行之有效的方法.例3如图3,己知梯形ABCD中，A3//CD,ZA+ZB=90°,M、N分别是AB、CD的中点.求证:MN=*(AB_CD).图3证明如图3,延长AD.BC相交于点E.•・•ZA+ZB=90°,•・・DEC和AEB都是直角三角形.连结EN,可知E、M、/V三点共线，在RtAAEB中，M是AB的中点，・・.EM

4、二丄2同理可证EN=-CD,・••MN=EM—EN=-(AB-CD).22四、作梯形的高过梯形上底的端点作梯形的高，把梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，可以使得解题的思路更加明朗和清晰.例4如图4,梯形ABCD中，AD//BC,两条对角线相交于点E,AB丄AC,且AB=AC,BD=BC.求证:CD=CE.MNC图4证明如图4,分别过点A、D作AM丄BC于点M,DN丄BC于点、N.•・•AB=AC,AM丄BC,AB丄AC,:.AM=-BC.2•••BD=BC,且DN=AMDN=-BD,2•：DN丄BC,・・・ZDBN=30°.・•・BC=BD,・・・Z

5、BDC=75°.•・•ZDEC=ZDBC+ZACB=30°+45°=75°,/.ZBDC=ZDEC,:.CD=CE.五、利用中点连结上底的一个端点与腰的中点与下底的延长线相交，借助所得三角形能使问题顺利求解.例5如图5,在梯形ABCD中，ADHBC,E、F分别是AB、CD的中点.求证:EF=*(AD+BC).AD图5证明如图5,连结AF并延长，交BC的延长线于点G.•・•AD//BC,:.ZD=ZDCG,•・・F是CD的中点,・・・CF=DF.•・・ZAFD=乙CFG,・・・ADF竺GCF.・••AD=GC,AF=CF,/.EF=-BG=-(AD+

6、BC).22六、连结两腰中点根据图形中的条件，连结两腰中点或过一腰的中点作底的平行线构成梯形的中位线，利用中位线的性质寻求解题思路.例6求证:直角梯形的两个直角顶点到对腰屮点的距离相等.图6C如图6,已知梯形ABCD^fAD11BC,ZBCD=90°,AE=BE.求证・.CE=DE.证明如图6,过E点作EF〃BC,交DC于点F.•••AE二BE,且EFllADllBC;DF=CF・・・ZBCD=90°,•・・BC丄DC,・・・EF丄DC,.・.CE=DE.在梯形的证明或计算问题屮，辅助线的作法并不一定是唯一的，有时可能是几种方法同时运用.构造辅助线的目

7、的是把梯形问题转化为平行四边形和三角形的综合问题，然后利用它们的性质来求解梯形问题.