中考数学复习指导：盘点梯形中的辅助线

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1、盘点梯形中的辅助线要解决梯形问题，通常添加辅助线将其转化为平行四边形与三角形的组合图形，再运用相关知识加以解决，添加辅助线的方法有：一、平移一腰，即从上底的端点作一腰的平行线例1：在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=40°,ZC=70°如图1.求证：AB+AD二BC.分析：过A点作AE〃DC交BC于E,则有EC=AD,如能证明AB=BE,问题就解决了.证明:过A点作AE〃DC交BC于E.•・・AD〃BC,・・・AD二EC.VZC=70°,ZAEB=70°.・・・ZB=40°,・・・ZEAB=180°-(70°-40°)=70°,•••

2、△BEA为等腰三角形，AB二EB,・・・AB+AD二EB+EC二BC.点拨::通过平移一腰把梯形转化为平行四边形和三角形，然后运用它们的性质解题，实际上这是“截隅.二、延长两腰把梯形变成三角形来解决例2：在图1中，延长BA,CD交于H,则可证明ABCH和AADH都是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可以达到目的.证明:延长BA和CD交于H.VZB=40°,ZC=70°,・・・ZH二70°,・・・BH二BC.•・•AD〃BC,・•・ZHAD=ZB=40°,ZHAD=ZC=70°,:.AH=AD,・•・AB+AD二AB+AH二BH二BC.点

3、拨:涎长两腰变梯形为等腰三角形，这实际是“补短法二三、过同一底两端作高例3:如图2,四边形ABCD为等腰梯形，CD〃AB,AD二BC,若AD=5,CD=2,AB=8,求梯形ABCD的面积.分析:己知梯形的上底和下底，耍求面积，必须先求高.作DE丄AB,垂足分别是E,F,然后在直角三角形中，用勾股定理求高DE.解答:D,CDE丄ABE,CF1ABF.・「AD二BC,DE=CF,ZAED=ZBFC=90°,・•・RtAADE^RtABCF,AE=BF.CD〃AB,DE丄AB,CF±AB,・・・CDEF・・・DOEF,・・・AE=-(AB-

4、EF)=L(AB—CD)二丄(8-2)=3・222RtAADE,DE=VAD2—AE2=a/52—32=4,・•・S梯abcd=

5、(>4fi+CD)DE=

6、(8+2)x4=20.点拨::通过作两条高，把梯形转化为矩形和两个全等的直角三角形，再运用全等三角形的性质和勾股定理求解.四、平移对角线例4:如图3,等腰梯形ABCD的面积为1()0cm2,AB〃CD,AD=BC,且AC丄BD,求梯形的高.分析:因为AC丄BD,若把BD向外平移，过C作CE//BD交AB的延长线于E,则梯形就转化为平行四边形DBEC和RtAACE,而AACE的面积等

7、于梯形的面积，AE边上的高就是梯图3形的高.解答:过C作CE〃BD,交AB的延长线于E,作CF丄AB于F.•・・CE〃BD,AB〃CD,・•・四边形DBEC平行四边形，・・・DC=BE,DB=CE.・・・AE=AB+BE=AB+CD,••=込AE*CF-—(AB+CD)•CF-S梯形佔仞•・•AD二BC,・•・BD二AC.・・・CE=AC.VAC丄BD,CE/7BD,/.ACICE,AAACE为等腰直角三角形而CF丄AF,S^cE=~AECF=-x2CF-CF=CF2=100,・・・CF=10cm,即梯形的高为10cm.点拨:解决有对

8、角线夹角的有关问题，一般是把其中一条对角线向外平移，平移后梯形转化为平行四边形和特殊的三角形问题，运用各自的性质解题.图4五、过一底中点作两腰平行线例5：已知：如图4,在梯形ABCD中，AD〃BC,AD

9、M二CN.又TBF二CF,FM=EN.AZ1=Z2.•・・AB〃EM,CD〃EN.AZ1=ZB,Z2=ZC,・ZB=ZC六、过一顶点与另一腰中点作直线例6:已知:如图5,直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB丄AD于A,DE=EC=BC.求证:ZAEO3ZDAE.分析:要证ZAEO3ZDAE,而ZAEC二ZDAE+ZADC,只需证ZADC=2ZDAE.如连结BE并延长交AD的延长线于N,则△DEN9ZCEB,有BC=DN,BE=EN,贝'JAE=EN,DE=DN,从而ZDAE二ZN,ZDEN=ZN,所以ZADO2ZDAE,问题得证.

10、证明:连结BE并延长，交AD的延长线于N.•・・AD〃BC,AZ3=ZN,又VZ1=Z2,ED=EC,△ADEN^ACEB.・・・BE二EN,DN=BC.TAB丄AD,・*.AE=EN=BE.・ZN=ZDAE.・•・Z