中考数学复习指导：梯形中的常用辅助线

《中考数学复习指导：梯形中的常用辅助线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、梯形中的常用辅助线在研究有关梯形的问题时，常常需要通过添加辅助线，把梯形的问题转化为三角形或四边形(特殊的三角形或四边形)问题来研究，下面就转化方法总结归纳，供参考。1.平移梯形一腰目的是将梯形转化成一个三角形和一个平行四边形，从而得到一个以梯形的两腰和两底差为边的三角形。例1.以2、3、8为边长的等腰梯形，你能画出几种？研究一下。解：如图所示，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,这里不妨过点D作DE〃AB,交BC于点E。这就转化成了三角形和平行四边形，利用三角形三边关系定理分类讨论：腰长分为2、3、8三种情况。(

2、1)若AB二CD二2,AD=3,BC=8，贝ijBE=AD=3,EC=BC-BE=5,DE=AB=2,ADEC中,DE=DC=2,EC=5,2+2<5,这个三角形不能构成，所以这样的梯形不能构成。(2)若AB=CD=3,AD=2,BC=8则BE=2,EC=6,DE=3,ADEC中，DE=DC=3,EC=6,3+3=6,这个三角形不能构成，所以这样的梯形不能构成。(3)若AB=CD=8,,AD=2,BC=3贝ijBE=2,EC=1,DE=8,ADEC中，DE=DC=8,EC=1,任意两边之和大于第三边，ADEC能构成，所

3、以梯形也能构成。综合上述情况这样的梯形只有一种。1.平移梯形两腰其目的是将梯形转化成两个平行四边形和一个三角形，从而进一步研究问题。例2.如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB与ZC互为余角，M、N分别为AD、BC的中点。求证：MN二*(BC・AD)证明:过点M作ME〃AB交BC于点E,作MF〃CD交BC于点F.・.・AD〃BC,AB〃ME,CD〃MF,二四边形ABEM和MFCD都是平行四边形，「.AM二BE,MD=FC.VM.N分别是AD,BC的中点，.AM=MD,BN=NC.・・・EN二NF,即N是EF的中

4、点.又ZMEF=ZB,ZMFE=ZC,ZB与ZC互为余角，.ZMEF+ZMFE=90°..-.ZEMF=90°,・・・MN二*(BC・AD)3、延长梯形两腰目的是把梯形转化为三角形，再利用三角形的有关性质进一步研究.例3.如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB二30。，ZC=60°,E,M,F,N分别为AB、BC、CD、DA的中点，已知BC=9,MN=4,求EF的长.解:分别延长BA,CD交于点R,则ZBRC=90°,易得R,N,M三点在一条直线上，所以RM=4.5,RN=0.5,则有AD=1,所以EF=

5、(A

6、D+BC)=54、作梯形的高其目的是把梯形转化成矩形和直角三角形，根据这些性质把问题解决.例4•如图所示，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZD=ZC=90°,MA=MB,ZBMC=75°,ZAMD=45°求证:BC=CD证明:作AE丄BC于E,则AE=DC,VZAMB=180°-(75o+45o)=60°,MA=MB,AAAMB为等边三角形，即AB=BM,•・・ZABE=60°+15°=75°=ZBMC,/.RtAABE^RtABMC,AE=BC,又DC=AE,故BC=CD5、平移梯形的对角线其目的是构造以梯形两条对

7、角线与两底之和为边的三角形，在题目中涉及对角线时，应尝试这种作辅助线的方法.例5.已知:如图，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,AC丄BD,AD=12,BC=18.求梯形的高.解:过点D作DH丄BC,垂足为H,作DE〃AC,交BC的延长线于点E,则四边形ACED为平行四边形.・CE=AD=12,BE二BC+CE二BC+AD二30TAD〃BC,AB=CD,・・・AC二BD.又TAC二DE,・：BD二DE.VACXBD.DE//AC,・BD丄DE,在RtABDE中,BD二DE,DH±BE,・BH=HE.・DH

8、=—=—=15226、利用梯形腰上中点具体做法是(1)连接上底与腰的中点并延长交下底的延长线于一点,其目的是把梯形割补成一个三角形.(2)利用中点作梯形的中位线利用中位线的性质.例6.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=AD+BC,E是CD中点，求证:AE丄BE。证明:延长AE交BC的延长线于F,・・・AD〃BC,E是CD的中点，AZ1=ZF,Z2=Z3,,DE=CE,即△AEDMFEC,AE=FE,AD=CF,又・・・AB二BC+AD二BC+CF二BF,Z.AE±BE例7.如图，在梯形ABCD中，AB〃DC,A

9、B+CD=AD,M为BC中点,求证:DM平分ZADC证明:作梯形中位线MN,则Z2=Z3,AB+CD=2MN,又AB+CD=AD,所以AD=2MN=2DN,fiPMN=DN,/仁Z3=Z2故DM平分ZADC7、作梯形的对角线等腰梯形的对角线相等,利用这一性质研究梯形中有关问题，常是事半功倍.例8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃