梯形常用辅助线的做法

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时间:2018-11-17

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1、WORD格式可编辑梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形.【例1】已知:如图,在梯形ABCD中,.求证:.专业技术资料整理WORD格式可编辑分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明:过D作,交AB于E.  ∵AB平行于CD,且,  ∴四边形是菱形.  ∴  又  ∴为等边三角形.  ∴  又,  ∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若.AD=7

2、,BC=15,求EF.分析:由条件,我们通过平移AB、DC;构造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中线.  解:过E作EM∥AB,EN∥DC,分别交BC于M、N,∵,专业技术资料整理WORD格式可编辑  ∴  ∴是直角三角形,∵,,  ∴.  ∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.变式:如图1,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范围。图1析解:过点B作BM//AD交CD于点M,则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。在△BCM中,BM=AD=4,CM=CD-DM=CD-AB=8

3、-3=5,所以BC的取值范围是:5-4

4、,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5,求CD的长。图5析解:延长BA、CD交于点E。在△BCE中,∠B=50°,∠C=80°。所以∠E=50°,从而BC=EC=5同理可得AD=ED=2专业技术资料整理WORD格式可编辑所以CD=EC-ED=5-2=3变式2:如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.变式3:(延长两腰)如图,在梯形中,,,、为、的中点。        3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角

5、形.然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题.例4.如图,在梯形中,.求证:.专业技术资料整理WORD格式可编辑分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.证明:分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.  ∵,  ∴.  又,  ∴≌.∴变式:如图7,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证:四边形ABFE是等腰梯形。图7析证:过点D作DG⊥AB于点G,则易知四边形DGBC是矩形,所以DC=BG。因为AB=

6、2DC,所以AG=GB。从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB,所以四边形ABFE是等腰梯形。如图8,在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。图8析证:作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△专业技术资料整理WORD格式可编辑DCF中,因为AB>CD,AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC4.平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角

7、形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决.【例5】.如图,等腰梯形中,,,且,是高,是中位线,求证:.分析:由梯形中位线性质得,欲证,只要证.过点作,交的延长线于,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了.证明:过点作交的延长线于点,则四边形是平行四边形.∴,∵四边形是等腰梯形,∴,∴又∵,∴,∴, ∴.∵,专业技术资料整理WORD格式可编辑∴又∵,∴.【例6】.已知:如图,在梯形中,.求证:梯形是等腰梯形.证明:过D作,交BA延长线于E.则四边形是平行四边形.∴.∴又,∴于是,可得∴∴梯形ABCD是等腰梯形.变

8、式1:如图3,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD=,求证:AC⊥BD。图3析解:专业技术资料整理WORD格式可编辑过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形,则DE=BC,CE=BD=,所以AE=AD+DE

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