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1、梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作,交AB于E. ∵AB平行于CD,且, ∴四边形是菱形. ∴ 又 ∴为等边三角形. ∴ 又, ∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若.AD=7,BC=15,求EF．分析：由条件,我们通
2、过平移AB、DC；构造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中线． 解：过E作EM∥AB,EN∥DC,分别交BC于M、N,∵, ∴ ∴是直角三角形,∵,, ∴. ∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－43、9。2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵,∴ ∴ . 同理, ∵ 故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。图5析解：延长
4、BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，从而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3变式2：如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.变式3：（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。 3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．例4.如图,在梯形中,.求证：.分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,
5、然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F. ∵, ∴. 又, ∴≌.∴变式：如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。图7析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。因为AB=2DC，所以AG=GB。从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。如图8，在梯形ABCD中，A
6、D为上底，AB>CD，求证：BD>AC。图8析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC4.平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．【例5】.如图,等腰梯形中,,,且,是高,是中位线,求证：．分析：由梯形中位线性质得,欲证,只要证．过点作,交的延
7、长线于,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了．证明：过点作交的延长线于点,则四边形是平行四边形．∴,∵四边形是等腰梯形,∴,∴又∵,∴,∴, ∴.∵,∴又∵,∴.【例6】.已知：如图,在梯形中,.求证：梯形是等腰梯形.证明：过D作,交BA延长线于E.则四边形是平行四边形.∴.∴又,∴于是,可得∴∴梯形ABCD是等腰梯形.变式1：如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。图3析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE
8、=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在△ACE中，，从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。变式2：（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________变式3:如图4，在梯形ABC
