初三数学巧解代数问题指导

《初三数学巧解代数问题指导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、初三数学巧解代数问题三角变换在数学中属于工貝性的内容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅可使题中各最之间的关系变得肓接明了、结构特征显现，而且代数屮原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算，因此在解代数问题时，要关于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息，选収适当的三角代换，从而将代数问题转化为三角问题。1.捕捉“兀2+〉,2的信息例1.解不等式J匸；一丄。2分析：由于（VTR+Ju+l厂=4,于是令v3-x=2sin0,Jx+1=2cosO0g0,712,则原不等式化为2sin&—2cos&>£,所以：2sin〃>2cos〃+丄.22rh&』0,知可知2COS+

2、丄>0.式(*)两边平方并整理得32cos?0+8cos&—_2」215<0,解得OScos&v血」。由x=4cos2^-lnj得，—1—v…兀故原不等88式的解集是1-Vnl0例2.给定正整数n和正数m,对于满足条件+a2„+[

3、屮sin(p=J—,cos6?=2—V10VlO当iL仅当sin(&-炉)=1,且r=4m时等式成立。这时sin"=^^cos0=-^9"Sjnax=二2皿・2.捕捉“1x151或J1-/”的信息例3•设02,neN求证：(l-x)n+(l+x)n<2n._XI+X(分析：由于…<1且〒+〒“可设"20,珂0,71且吩,(1_兀)”+(1+创=(2sii?0)"4-(2cos2oy=2/?[(sin2ey+(cos23y]<2气sil?0+cos2&)=T.例4.己知a、b为非负数，且Ji".Ji—=ab,求证a^-b2+b^-a2=1.分析：Jl—a，、Jl-b，

4、有意义,暗示lalS1,IblS1,故nJ设a=sina,TTb=sin0,o、0,—。由已知条件可得，亠7Tcos6/cos/?=sinqsin"即cos(〃-0)=0,所以&+0=—,-b2+h^-a2=sinacosp+cosasin[i-sin(cos2”"00尹〉…〉cos—>cos—>COS&.42故可设a0=cos^=-,&』0,2即a。

5、oV1+X2]+兀-分析：考虑到关键是去根号,联想到公式l+tan2^=sec2^,设x二tan",（一守，彳），则原不等式可化为sin&+cos2&〉0即（2sin&+l）（sin0—1）<0,解得一丄vsin&vl,所以一—<0<—^262原不等式的解为o35.捕捉“上兰上”的信息+xy例7.数列｛a“｝中，a｛=V3,an=上巴二⑺>2）,求a“。1-碍-】分析：由色二上匕d联想到1一碍-1(7v1+tan(7tan&+—=v4丿1-tancrjrIT由此可令％=tana,H

6、,贝lj221+d]1+tana(兀、a2===ta叫—+a,l-al1-tanav4丿[5)1+a,5~l-tz21+tan+a_14丿[[711-tan^—+o丿=tan(2矜an=tan(/?-1)—+a证明略。故所求通项公式为、、兀7ta”=tan(n-1)——+——”432YJ—r~&•捕捉和刁”的信息例&解方程组（1一兀r）忑+]=2兀r伙=1,2,…，n,nKxn+l=xxo分析：若把原式变形为兀+]=二^可，则可发现它与正切函数的倍角公式结构一致,1-X//因此可令右牡匕，-）兀22tan〃1-tan20tan2^xk=tan2A1^(Z:=L2,…，n,n+1)因为兀+

7、]=x{,所以tm2n0=tan6^,2"0=m兀+&(jneZ),0=一(meZ).2—1于是原方程组的解为=tan2k~lm7r2"—1(mw乙2,…，n+1).例9.求f(x)=1+x-1+2x+x4的值域。分析：将/(Q的表达式裂项变形得,l-2x2+x4p/(x)=—+.1+2,+十1+2,+-x21+x2J由此联想到力•能公式，由XG/?,(7ia7i<—<—,l222丿ax=tan—2贝Uy=—sinc