捕捉三角信息巧解代数问题.doc

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1、.捕捉三角信息巧解代数问题三角变换在数学中属于工具性的容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了、结构特征显现，而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算，因此在解代数问题时，要关于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息，选取适当的三角代换，从而将代数问题转化为三角问题。1.捕捉“”的信息例1.解不等式。分析：由于于是令，则原不等式化为，所以：两边平方并整理得15<0，解得。由可得，，故原不等式的解集是。例2.给定正整数n和正数m，对于满足条件的所有等差数列的最大值。分析：由，则由于是其中。当且仅当=1，....且时等式成立。这时

2、时，2.捕捉“”的信息例3.设，求证：分析：由于，可设且，则例4.已知a、b为非负数，且求证=1.分析：故可设，，由已知条件可得，即3.捕捉“”的信息例5.数列满足，求证是单调数列。分析：由于与余弦函数的半角公式的结构完全一致，故可设....，所以=，即。故数列是单调数列。4.捕捉“”的信息例6.解不等式分析：考虑到关键是去根号，联想到公式，设，，则原不等式可化为即解得，原不等式的解为。5.捕捉“”的信息例7.数列，求。分析：由联想到，....由此可令证明略。故所求通项公式为6.捕捉“”的信息例8.解方程组且。分析：若把原式变形为则可发现它与正切函数的倍角公式结构一致，因此可令因为，.于是原方

3、程组的解为例9.求的值域。....分析：将的表达式裂项变形得，由此联想到万能公式，由令当。故的值域是7.捕捉“”的信息例10.已知求证：分析：由等式的结构联想到△ABC中有。由此可设，则由于原式成立。8.捕捉“”的信息....例11.已知的取值围。分析：由已知条件联想到公式，即由此可令，则...