构造三角形巧解代数问题

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1、构造三角形巧解代数问题三角形是我们熟知的几何图形，它蕴含着正弦定理、余弦定理、面积公式等性质定理.如果在解决一些代数问题时，能根据题目条件，构造出合适的三角形，然后借助三角形自身的性质和结论，不仅可以使问题的解决简捷巧妙，还可以开阔我们的视野.本位通过实例谈谈三角形在以下几个问题中的应用一求值例1求的值解：变形可得：由可以构造出，如图1所示：CBAcab图1其中，角的对边分别为由正弦定理可得：，其中为的外接圆半径则所以（1）又因为代入（1）可得：二求最值例2设，若，求的最大值解：变形可得：（*）（*

2、）式与余弦定理类比可以出构造，如图2所示：5ACB1y2x图2其中由可得：又因为由正弦定理可得：,其中为外接圆的半径于是又因为所以所以当且仅当时，即为等腰三角形时，取最大值三解方程组例3已知，且，求解：变形可得：(1)式与余弦定理类比可以构造出，其中5，(2)式与余弦定理类比可以构造出，其中，(3)式与余弦定理类比可以构造出的三个边长，其中,由此可以构造出，如图3所示：ABC534Oabc图3其中是以角为直角的直角三角形由图3可知：代入数据可得：化简可得：四证明等式例4证明：证明：作，如图4所示：A

3、BCDE图4在的两边上分别取点,使得5利用三角形性质可得：所以，,即又因为是等腰三角形所以，即化简可得：五证明不等式例5已知，求证：解:变形可得：与三角形面积公式类比可以构造出，如图5所示：ABCDFE1－yy1－zzx1－x图5其中为边长1的等边三角形设，则由图形可得：代入数据可得：化简得：5综上例题大家可以看到：在处理一些代数问题时，根据题目中已知条件，大胆构造三角形，巧妙借助正弦定理、余弦定理、三角形面积等性质，可以直观、迅速地得出答案，在解决问题的同时，也开拓了我们的视野，培养了我们的创新思

4、维。5