构造正三角形巧解几何问题

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1、.构造正三角形巧解几何问题余凤冈例1.如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P为△ABC内一点，∠PBC＝10°，∠ACP＝20°，求∠APB的度数。图1解：如图1，在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCD，连结AD在△DBA和△CBP中∠DBA＝∠DBC－∠ABC＝60°－50°＝10°因为∠CBP＝10°所以∠DBA＝∠CBP，因为∠BCP＝∠ACB－∠ACP＝50°－20°＝30°显然DA平分∠BDC...所以所以∠BDA＝∠BCP，因为BD＝BC所以△DBA≌△CBP（ASA）BA＝BP，即△ABP是等腰

2、三角形。所以评注：考虑到作等边三角形后形成∠DBA＝60°－50°＝10°为证全等创造条件是本题的关键。例2.如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，设AD＝BC，连接DC，求∠ACD的度数。图2解：如图2，在△ABC的BC的外侧作等边三角形BCE，连结AE...在△ACE和△CAD中，因为∠ABC＝∠ACB∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝40°＋60°＝100°所以∠ACE＝∠CAD因为AC＝CA，CE＝BC＝AD所以△ACE≌△CAD（SAS）故∠CEA＝∠D因为AE平分∠BEC，有所以∠D＝30

3、°∠ACD＝180°－∠DAC－∠D＝180°－100°－30°＝50°例3.如图3，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，在AB上取AD＝BC，求∠ACD的度数。...图3解：在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCE，连结AE。在△ACD和△CAE中，∠ABC∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝80°－60°＝20°所以∠CAD＝∠ACE＝20°AC＝CA，AD＝BC＝CE，所以△ACD≌△CAE（SAS）因为AE平分∠BAC，所以，所以∠ACD＝∠CAE＝10°。例4.如图4，已知在四边形ABCD中，∠ABD＝12°，∠D

4、BC＝36°，∠ACB＝48°，∠ACD＝24°，求∠ADB的度数。...图4解：因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝12°＋36°＝48°又∠ACB＝48°所以△ABC是等腰三角形，在△ABC中，BC的同侧作等边三角形BCE，连结AE，在△DBC中，∠BDC＝180°－∠DBC－∠BCD＝180°－36°－（48°＋24°）＝72°所以∠BDC＝∠BCD＝72°BD＝BC在△ABE和△ABD中，∠EBA＝∠EBC－∠ABC＝60°－48°＝12°＝∠DBAAB＝AB，BE＝BC＝BD所以△ABE≌△ABD（SAS）∠BEA＝∠BD

5、A因为EA平分∠BEC所以所以∠BDA＝30°。...例5.如图5，已知在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°。求证△ABC是等边三角形。图5解：因为∠ABD＝∠ADB＝15°，所以△ABD是等腰三角形。在△ABD和BD的同侧作等边三角形BDE，连结AE。在△BAE和△BCD中，∠EBA＝∠EBD－∠ABD＝60°－15°＝45°＝∠DBC因为EA平分∠BED，所以因为BE＝BD，所以△BAE≌△BCD（ASA）所以BA＝BC因为∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝15°＋45°＝60°...

6、所以△ABC是等边三角形例6.如图6，在正方形ABCD中有一点P，且有∠PAB＝∠PBA＝15°，求证△PCD是等边三角形。图6分析：如图6，在△PCD的同侧作等边△P”CD，因为CD＝CP”＝CB，所以△CP”B为等腰三角形且∠BCP”＝90°－60°＝30°。所以∠P”BA＝15°同理∠BAP”＝15°由条件知AP与AP”为同一条直线，BP与BP”也为同一条直线，故P与P”重合。所以△PCD是等边三角形。从以上几例可以看出用叠加的方法作等边三角形可使一些与等腰三角形有关的几何问题变得简单，给人以柳暗花明之感。　　..