中考数学复习指导：立足基本图形巧解定点问题

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1、立足基本图形巧解定点问题对一道屮考试题解法的探究及思考近儿年屮考数学试卷相较往年，简约清新的特征愈发明显，数学味更浓了，更多关注数学本质，较好地体现了新课程标准的理念.笔者就某道中第(2)问作一解法探究，并提出几点教学思考，供读者参考.一、试题呈现如图1,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是边AB.BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值.本题源于课本，背景熟悉，语言简洁，文字精炼

2、，是八上勾股定理和八下正方形屮的常见问题.从问题看，第(1)问考查正方形的判定，难度不大;第(3)问可借助二次函数，求函数最小值，第(2)问是动态问题中证明定点的问题.从考生的反馈意见看，得分率不高，属于能直观猜想，但无从证明，其原因在于初中阶段此类问题不多见，学生缺乏解题方法，不能准确找到解题思路.笔者经过思考，尝试用多种方法解决第(2)问.二、解法探究思路1巧借全等三角形，数量关系来寻求定点随着点E、F、G、H位置的变化，正方形EFGH的大小也在变化，凭借儿何直观,对角线的EG、HF对角线的交点是定点，这个点也是正方形

3、ABCD对角线的交点.因此，可证明EG、FH的交点O是AC的中点，即要证明OA=OC且点A、O、C共线.也可证明点0到四个定点A、B、C、D的距离相等，即要证明04=0B=0C=0D.解法1如图2,联结EG、HF交于点O,联结OA、OC.・・•四边形EFGH是正方形,・・・0H=0F.・・・AD//BC,・・.乙AHO=乙CFO.在WHO和4CFO中，•・・AH=CF,ZAHO=乙CFO,OH=OF,:.WHO竺ACFO,・•・OA=OC,ZAOH=ZCOF.vZC

4、0°,/.点A、0、C共线，・••点O是对角线AC的小点，即直线EG经过定点(对角线AC的小点).解法2如图3,联结EG、HF交于点O,联结04、OB、0C、0D・・・・四边形EFGH是正方形，・・・OH=OE,ZEHO=ZFEO=45°由AAHE竺BEF,可得ZAHE=ZBEF,/.ZAHO=ZBEO.在AAHO和MEO屮，・・•AH=BE,乙AHO=ZBEO,OH=0E,・•・AAHO空ABEO,・•・0A-OB.同理OB=OC,OC=OD,・・.OA=OB=OC=OD,点、O为正方形ABCD的外心，即直线EG经过定

5、点（正方形ABCDW夕卜心）.思路2巧借平行四边形，活用性质来寻求定点由第(1)问的证明，不难发现图屮存在平行且相等线段，不妨构造以EG、AC为对角线的平行四边形，由平行四边形对角线互相平分的性质，可得交点为4C的中点.解法3如图4,联结AC.EG交于点0,再联结AG、EC.AE=CG,AE//CG,・・・四边形AECG是平行四边形,•••点0是AC的中点，即直线EG经过定点（対角线AC的中点）.图4思路3巧借梯形屮位线，位置关系来定点联结EG可得梯形BCGE,由BE、CG的和是定值（即上下底的和是定值），可利用梯形屮位线

6、的性质，则屮位线长也为定值，且垂直于3C.联结0M.解法4•・•点O、・・・OM=L(BE+CG),OM〃BE,:.0M丄BC.2•・・AE=CG,・・・BE+CG=BE+AE=AB=8./.OM=4.・••点O在中点上方4cm处，即直线EG的中点是定点.思路4巧借直角坐标系，由函数关系来寻求定点由直线EG可联想到一次函数，通过建立直角坐标系，设BE长度，从而表示出EG的坐标，求出直线EG的表达式，从函数关系式确定定点坐标.解法5如图6,以点B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立直角坐标系.i§BE=^cm(0

7、<8),则CG=(8-a)cm,/.E(0,a),G(8,8-a).设直线EG的表达式为y=kx+b（k,b为常数，且RhO）.将E(0,d),G(8,8—d)代入，得(44-ax^a.rb=a,解得[8£+b=8-d.•・・直线EG的表达式为y=由表达式可知，当x=4时，y=4,/.直线EG必过定点(4,4).三、几点思考1.根植课本，改编拓展习题笔者根据数学命题的经验，大量小考试题均来源于课本.在屮考复习阶段切不可大搞“题海战”，不加选择地移植题目，将课本抛之脑后，实属于本末倒置.作为教师，要有研究题目解法的能力，要有

8、发现题目价值的慧眼，整合改编题目的巧手,实现题目价值应用的最大化•同时，要尝试引导学生在屮考复习阶段进行题目改编，形成同类知识的“题目串”，提高学生对基本题目的认识，加深对核心知识的理解，建构起题目Z间的联系.2.积累经验，建构基本图形在本题的多种解法中，先后有全等三角形、平行四边形、正方形、梯形、一次