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《2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45角的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、构造基本图形巧解含45°角的问题本文以两道含有45°角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考.一、试题呈现题1(2017年丽水屮考题)如图1,在平面直角坐标系xOy^,.直线y=-x+m分别交兀轴，y轴于V、B两点,已知点C(2,0).(1)略；(2)设P为线段的屮点，连结PA,题2(2017年金华中考题)如图2,已知点A(2,3)和点B(0,2),点.A在反比例函数£的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按照逆时针方向旋转45°,交反比例函数%的图象于点C,则点C的坐标是.上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45
2、°的特殊角.因此，如何利用45。角成为了解题的突破口，45°角的两边与x轴的交点都形成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法.二•、共同解法展示1.构造“一线三等角”，利用相似三角形丽水题解法1如图3,在y轴截取OD=OC,此时ZPDC=45°,可以证得MBP:APDC,—.CDPD进而得到方程-:2V2=V2m:(-+2),22解得加=12.金华题解法1如图4,过点A作等腰直角APNG,作ND=NF,连结DF,易得NP=NG=6,PG=6近.设FN=DN=a,可以证得AAPG:FDA,得竺二竺，PGDA・3_屈八6迈一a+3‘解得。=1,求出AF的解析式为y=3
3、x—3,再与歹=@联列方程，得到C点坐标为(-1,-6).x分析“一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法•该模型在这两小题的应用屮看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45°的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列岀方程.1.构造“三垂型”模型，利用全等三角形丽水题解法2如图5,过点C作CD丄CP,交AP于点D,再作DE丄兀轴，易得AOPC=ECD,:.DE=OC=2,CE=OP=—f2AE=0A-0C-CE=—-2.2・・・DEHOP,.DEAE••—9OPAO列出方程2:—=(—-2):/n,2
4、2解得m=n.金华题解法2如图6,过点M作MF丄AM,构造如图所示的辅助线，易得EFM三ADMA.设M的坐标为（0,加）,可得=EF=2,AD=EM=3-m.因为点G在直线y=*x+2上，可以求得点G的坐标为（2加-4,加），进而求得GE=—m,GD=6-2m.•・•EFIIAD,EF■••■ADGE=,列出方程2:GD(3-m)=(1-m):(6一2m),解得m=±3(m=3舍去).所以点M的坐标为（0,-3）.分析“三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用來证明勾股定理.看到45°角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型.1.构造“角
5、平分线”，运用内角平分线的性质预备知识:如图7,AD是ABC的角平分线，则有—=—（证略）.丽水题解法3如图8,过点P作PD丄PA.VZAPC=45°,所以CP为AAPD的角平分线,.PDCD,**PA~ACV—=1,并且求出D的坐标(--,0),PA24可得丄=—,2777-2解得771=12.金华题解法3如图9,方法同上..分析由于45°是90°的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质，45°这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段.1.构造“正方形”，借用正方形旋转预备知识:如图10,正方形ABCD,点E、F分别在BC和CD上，且Z
6、EAF=45°,求证:BE+DF=EF.（证略）丽水题解法4如图11,EN=DN=—,OC=2,4根据预备知识得到mCN=—^2.4又7C£=—-2,在ACEN屮有2(耳+⑺+2几AE233:.NF=-,HG=-.22设点E为⑺2,0),则DE=2-m,GE=l+m.利用预备知识，7可得=——m.2在直角AHGE中，(£尸+(1+加)2=(?一加)2,22解得777=1,得到£(1,0).分析“半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转完成，可以得到全等三角形，•进而得到线段Z间的关系.1.构造•“三角形的高”，冋到匀股定理丽水题解法5如图13,作CQ丄AP,可知A
7、PCQ为等腰直角三角形.由PO:AO=CD:AD=:2fAC=m—2,.易得CD=和一2),pT(“2).在RtPOC中，利用勾股定理，得(y)2+22=[^(m-2)]2,解得加=12.图13图14金华题解法5如图14,作ED丄AF(后面计算可得3和D重合).设AD=ED=a,则DE=2a,EF=,AF=3d.又•・・AF=3禹,得到a=B,EF——5,:.E(1,O).分析遇到直角问题，有时要回归到勾股定理，利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题屮，我们经常会利用勾股定理构造方程
