2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题.docx

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1、---------构造基本图形巧解含45o角的问题本文以两道含有45o角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考.一、试题呈现题1(2017年丽水中考题)如图1xOy中，直线yxm分别交，在平面直角坐标系x轴，y轴于A、B两点，已知点C(2,0).(l)略;(2)设P为线段OB的中点，连结PA，PC若CPA45，则m的值是.题2(2017年金华中考题)如图2，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数k的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按照逆时针方向旋转，交反比例函

2、数y45ox的图象于点C，则点C的坐标是.上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45o的特殊角.因此，如何利用45o角成为了解题的突破口，45o角的两边与x轴的交点都形成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法.二、共同解法展示1.构造“一线三等角”，利用相似三角形丽水题解法1如图3，在y轴截取ODOC，此时PDC45，可以证得ABP:BPBAPDC，.CDPD进而得到方程m:222m:(m2)，22解得m12.-------------------金华

3、题解法1如图4，过点A作等腰直角PNG，作NDNF，连结DF，易得NPNG6，PG62.设FNDNa，可以证得APG:FDA，得APDF，PGDA∴32a，62a3解得a1，∴F(1,0).求出AF的解析式为y3x3,再与y6C点坐标为(1,6).联列方程，得到x分析“一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45o的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程.2

4、.构造“三垂型”模型，利用全等三角形丽水题解法2如图5，过点C作CDCP，交AP于点D，再作DEx轴，易得OPCECD，∴DEOC2，CEOPm，2mAEOAOCCE2.2-------------------∵DE//OP，∴DEAE，OPAOm列出方程2:解得m12.m(2):m，-------------------金华题解法2如图6，过点M作MFAM，构造如图所示的辅助线，易得EFMDM.A设M的坐标为(0,m)，可得MDEF2，ADEM3m.因为点G在直线y1x2上，可以求得点G的坐标为(

5、2m4,m)，2进而求得GE1m，GD62m.∵EF//AD，∴EFGE，列出方程2:ADGD(3m)(1m):(62m)，解得m3(m3舍去).所以点M的坐标为(0,3).分析“三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来证明勾股定理.看到45o角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型.-------------------3.构造“角平分线”，运用内角平分线的性质预备知识:如图7，AD是ABC的角平分线，则有ABBD(证略).ACCD--------------

6、-----丽水题解法3如图8，过点P作PDPA.-------------------∵APC45，所以CP为APD的角平分线，∴PDCD’PAAC∵PD1，并且求出D的坐标(m,0)，PA24m可得124，2m2解得m12.金华题解法3如图9，方法同上.分析由于45o是90o的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质，45o这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段.4.构造“正方形”，借用正方形旋转预备知识:如图10，正方形ABCD，点E、F分别在BC和CD上，且

7、EAF45，求证:BEDFEF.(证略)丽水题解法4如图11，过点P构造正方形OPDE.ENDNm，OC2，4根据预备知识得到m2.CN4m又∵CE2，在CEN中有-------------------2-------------------(m2)2(m)2(m2)2，244解得m12.金华题解法4如图12，∵NF1，AE2∴NF332，HG.2设点E为(m,0)，则DE2m，GE1m.利用预备知识，可得HE7m.2在直角HGE中，(3)2(1m)2(7m)2，22解得m1，得到E(1,0).分析“

8、半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转完成，可以得到全等三角形，进而得到线段之间的关系.5.构造“三角形的高”，回到匀股定理丽水题解法5如图13，作CDAP，可知PCD为等腰直角三角形.由PO:AOCD:AD1:2，ACm2，易得CD5(m2)，5PC102).5(m在RtPOC中，利用勾股定理，得(m)222[10(m2)]2，25-------------------解得m12.金华题解法5如图14，作EDAF(后面计算可得B和D重合