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《中考数学教学指导：活用图形变换巧解最值问题，》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、巧施变换妙解最值近年来，各地各类考试屮有关最值问题频频出现，此类问题形式多样，解题方法灵活多变，许多同学在遇到此类问题时，感到无从下手，找不到适当的切入点，导致思维受阻.笔者基于自己的教学实践，谈谈如何活用图形变换，巧解最值问题，以期对同学们有所帮助.一、巧用轴对称例1(1)观察发现如图1,若点A、B在直线加同侧，在直线加上找一点P,使AP+BP的值最小.做法如下:作点B关于直线加的対称点3’，连结AB',与直线加的交点就是所求的点P,线段AE'的长度即为AP+BP的最小值.如图2,在等边MBC中，AB=2，点E是AB的中点，
2、AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.做法如下：作点3关于AD的对称点，恰好与点C重合，连结CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.(2)实践运用如图3,已知00的直径为2,弧AC的度数为60°，点B是弧AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为.(3)拓展延伸如图4,点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M、N,使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.解析⑴利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值•由AB=2，
3、点E是AB的中点,根据等边三角形的性质，得到CE丄4B,ZBCE=-ZBCA=30°,BE=.2再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE=希.(2)如图5,过点B作弦BE丄CD,连结4£交＜7)于P点，连结03、0E、0A、PB.根据垂径定理得到CD平分BE,即点E与点B关于CQ对称，则AE的长度就是BP+AP的最小值.易知ZA0E=60°+30°=90°,于是可判断AA0E为等腰直角三角形，则AE=y/2OA=y[2；A(3)如图6,分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F,然后连结EF,EF交AB于点、M,交BC于点
4、、N.反思例1中的(1)(2)题都属于“两定点+—动点”问题.解决关键在于通过轴対称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，轴对称变换到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上吋，由“两点之间线段最短”，可知线段和的最小值为定线段的长.第(3)问虽属于两动点问题，但仍可以用两次轴对称，转化为“两点之间线段最短”的问题.例2如图7,在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A.B.C的坐标分别为(0,0)、(20,0)、(20,10),在线段AC、AB上各有一动点M、N,则当BM+MN取最小值时，点M的坐标是.图
5、7解析我们不妨先假定一个动点N为定点，如图8(1).作点B关于AC的对称点连结B'N,交OC于点由“两点之间线段最短”，可知BM+MN的最小值为B'N+MN=B'N.(1)(2)图8再考虑N是x轴上的一个动点，F是兀轴外的一个定点，由“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”，可知当B'N丄兀轴时(如图8(2)),BM^MN的值最小.易知BBf=4^5,利用NBB'N-AABC,可得BN=6,进而得到ON=2,MN=6,・••点M的坐标是(12,6).反思本例属于“两动点+—定点”问题，对动点进行轴对称变换，综合利用“两
6、点之间线段最短”，“垂线段最短”解决问题.例3如图9,在AABC中，ZA=60°,ZC=75°,AB=10,£>,E,F分别在AB,BC,AC上，则4DEF的周长的最小值为—.解析我们不妨也假设一个点E是定点，分别作点E关于AB^AC的对称点P,Q,则DE=PD,EF=PQ,DE+DF+EF=PD+DF+FQ・由“两点之间线段最短”可知，当D,E,F,Q四点共线时，ADEF的周长最小，即等于PQ的长度•由轴对称的性质可知,PA=AE=AQ,ZPAQ=2(ZBAE+ZCAE)=2ZBAC=120°易得PQ=y/3AP=y/3AE
7、.考虑E是BC±的一个动点，要使有最小值，只需AE取得最小值.由“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”，可知，当AE丄BC时，AE的值最小，即为的长度.在直角MBH中，71H=/lBsin45o=5V2故ADEF的周长最小值为=5乔.反思本例属于“三动点”问题，对动点进行两次轴对称变换，“化曲为直”，再结合垂线段最短解决问题.例4如图11,婷婷同学住在A村，她的外婆住在河对岸的B村，每次婷婷到外婆家都要走很多弯路，现在有关部门将拨款在河上修一座桥•为使AB两村所筑的路最短，桥应筑在河的哪个位置?（要求桥与河岸乖直）解析
8、如图12,过A作A4'丄厶，且A4等于河的宽度，连结才B交厶于点C,过点C作CD丄厶，连结AD,则CD就是桥的位置.图11图12例5如图13,正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上且CE=1,长为血的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，tanZMBC的值是解
