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《中考数学教学指导：巧用图形性质求解与圆有关的最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、巧用图形性质求解与圆有关的最值问题探究圆上的动点或与圆相交动线构成的线段的最值问题新颖别致，形式不拘一格，解决问题的方法灵活多变，造成许多同学产生畏难情绪.本文分类例说如何利用图形性质求解此类问题，以帮助同学解除疑惑.1•利用“直径是圆中最大的弦”求最值例1如图1,是OO的一条弦，点C是OO上一动点，且ZACB=30°,点、E、F分别是AC、BC的屮点，直线EF与OO交于G、刃两点.若OO的半径为7,则GE+FH的最大值为・H图1图2解析©O的半径为7,说明OO的大小已确定，又=30°,所以弦AB的长度是一个定
2、值（为直径的一半），EF是屮位线,等于弦AB的一半，也为定值.GE、EF、组成眩GH,所以要求GE+FH的最大值就需求出GH的最大值，我们知道圆中最长的弦是直径，因此当GH过圆心时最大.过点A作OO的直径AC（此时GH与AC的交点E与圆心O重合），连结BC,则ZABC=90°（如图2）.vZC=30°,AC二14,根据“直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半”，/.AB=7.又・・・E、F分别是AC.BC的屮点,.EF=-AB=3.5,2/.GE+FH—GH—EF=14—3.5=10.5.即GE+FH
3、的最大值为10.5.2•利用“过圆内一点且与过该点的直径垂直的弦最短”求最值例2如图3,在平而直角坐标系xOy中，以原点0为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx_3k+4与OO交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为图3解析将直线的解析式变形为y二饥兀-3)+4,不论R取任何值，当兀=3时总有y=4,说明直线必过定点D(3,4).连结OD，则当直线与OD垂直时与OO的交点B、C构成的弦最短.•・•点D的坐标是(3,4),・・・由勾股定理，可得OD=5.•・•以原点O为圆心的圆过点A(13,0),・・・圆的半径
4、为13,即03=13,在RtAODB屮，由勾股定理，可得BDK2,根据垂径定理，可得BC=2BD=24.即弦BC的长的最小值为24.3•根据“垂钱段最短”求最值例3如图4,在RtAOB中，OA=OB=3y[2,QO的半径为1,点P是A3边上的动点，过点P作。0的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值图4图5解析如图5,连结OP、0Q,因为PQ是O0的切线，・・・ZPQO=90。.根据勾股定理，知PQ'hOh—o/,而oq是。o的半径为定值1,所以当op最短时，切线PQ有最小值.观察图4,显然当OP丄时
5、，线段0P最短，为此，过点O作0P丄4B于点P,则过点P作G）0的切线PQ,此时PQ就是长度最小的位置.在RtAAOB中，OA=OB=3伍,・•・由勾股定理，得AB二近0A=6.根据面枳公式，可得丄ABOpJoAOBj"=°介°〃=3,22AB・•・PQ=^OP2-OQ2=V32-l2=2V2.例4.如图6,AABC屮，ABAC=60°,ZABC=45°,AB=2>/2,D是线段BC上的一个动点;以AD为直径画OO分别交AB.AC于E、F,连结EF,则线段EF长度的最小值为•ABD_C图6解析由垂线段的性质可知
6、，当AD为MBC的边BC上的高时，直径AD最短（如图7）,此时线段EF最短.连结OE、OF,过点0作OH丄EF于点H.在RtABD中，・・・ZABC=45。，AE=2迈,由勾股定理，可得AD=BD=2,故圆的直径为2.由圆周角定理，可知ZEOH=-ZEOF=丄x2ZBAC=60。，/.ZOEH=30°.根据“30。角所对的直角边等于斜边的一半根据垂径定理，可得EF=2EH=羽.评注本题考查了垂径定理、圆周角与圆心角之间的关系.解题的关键在于根据条件“D是线段BC上的一个动点”，找出满足条件的最小圆，从而获得弦
7、EF的戢小值.4.利用“两点之间线段最短”求最值例5（2012年贵港中考题）如图8,MN为OO的直径，点A、B是OO上的两点，过点A作AC丄MN于点C,过点B作3D丄MN于点D,P为DC上的任意一点.若MN=20AC=8Dn-I山ID/t丄D古旦解析如图9,延长BD交G）O于点B‘，连结AB'交CD于点P,则此时PA+PB的值最小.因为为OO的直径，BD丄MN;根据垂径定理，可知点B与H关于直线MN对称.此时AP+BP二AP+PB',显然当点A、P、三点在同一直线上时，4B'的长度最小.下面只要求出线段4口的长
8、度，就是PA+PB的最小值，延长AC与过点且与MN平行的直线相交于点E.容易证明四边形DCEBf是矩形，:.CE=DBf=BD=6AE=AC+CE=S-}-6=14.连结OB、0A.在RtABD0和RtAC0中，由勾股定理，可求出OD二8,OC=6,CD—0D+0C=8+6=14.在RfAAEB'中,由勾股定理，可求出=血，所以，PA+PB的最小值为14^2.评注根据题意作出辅助线，
