巧用图形性质求解与圆青关的最值问题.pdf

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1、初中文学教与学2015年巧用图形胜质求髓与圆青关硇最值问题李帅领王锋(江苏省丰县初级中学，221700)探究圆上的动点或与圆相交动线构成的．GE+}H=GH—E}线段的最值问题新颖别致，形式不拘一格，解=14—3．5=10．5．决问题的方法灵活多变，造成许多同学产生即GE+FH的最大值为10．5．畏难情绪．本文分类例说如何利用图形性质2．利用“过圆内一点且与过该点的直径求解此类问题，以帮助同学解除疑惑．垂直的弦最短”求最值1．利用“直径是圆中最大的弦”求最值例2(2013年内江中考题)如图3，在平例1如图1，AB是o0的一条弦，点c是面直角坐标系xOy中

2、，以原点0为圆心的圆过o0上一动点，且LACB=30。，点E、分别是点A(13，0)，直线Y=kx一3k+4与o0交于AC、BC的中点，直线EF与o0交于G、H两曰、c两点，则弦BC的长的最小值为一点．若00的半径为7，则GE+朋的最大值为，-刀AIGHG图3解析将直线的解析式变形为Y=k(图1图2一3)+4，不论k取任何值，当=3时总有Y=解析o0的半径为7，说明o0的大小4，说明直线必过定点D(3，4)．连结OD，则当已确定，又LACB=30。，所以弦AB的长度是直线与OD垂直时与o0的交点日、c构成的一个定值(为直径的一半)，EF是中位线，等弦最短

3、．于弦AB的一半，也为定值．GE、EF、删组成‘。．点D的坐标是(3，4)，弦GH，所以要求GE+删的最大值就需求出‘．．由勾股定理；可得OD=5．GH的最大值，我们知道圆中最长的弦是直径，‘’．以原点0为圆心的圆过点A(13，0)，因此当GH过圆心时最大．过点A作O0的直‘．．圆的半径为13，即OB=13，径AC(此时GH与AC的交点E与圆心0重在Rt△ODB中，合)，连结BC，则LABC=90。(如图2)．由勾股定理，可得BD=12，‘。．C=3009AC=14．根据垂径定理，可得BC=2BD=24．根据“直角三角形中30~角所对的直角边即弦BC的长

4、的最小值为24．等于斜边的一半”’．．．AB=7．3．根据“垂线段最短”求最值又‘．‘E、F分别是AC、BC的中点，例3(2013年咸宁中考题)如图4，在EF=lAB‘=．．3．5．RtAAOB中，OA：OB=3qc2，00的半径为1，·24·第6朝初中数学教与学点P是AB边上的动点，过点P作o0的一条7)，此时线段EF最短．连结OE、OF，过点0作切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值0H1EF干H．为一在RtAABD中，。．‘LABC=45。，AB=2√2，由勾股定理，可得AD=BD=2，故圆的直径为2．由圆周角定理，可知1LEOH=÷LEOF二

5、图4图51=÷×2LBAC=60。，解析如图5，连结OP、oq，因为PQ是(30的切线'．．．LPQO=90。．根据勾股定理，知‘．．厶oEH=30o．pQ2=D—DQ2，而OQ是oD的半径为定值根据“30。角所对的直角边等于斜边的一1，所以当oP最短时，切线PQ有最小值．半，，及勾股定理，可得EH：，观察图4，显然当oP上AB时，线段OP最短，为此，过点0作OP上AB于点P，则过点P作根据垂径定理，可得EF=2EH=oD的切线PQ，此时PQ就是长度最小的位置A在RtAAOB中，OA=OB=3，‘．．由勾股定理，得AB=√2OA=6．根据面积公式，可得B

6、DCB·OP=÷OA·DB，图7·．．DP=评注本题考查了垂径定理、圆周角与。圆心角之间的关系．解题的关键在于根据条．．PQ=,／oP一OQ件“D是线段BC上的一个动点”，找出满足条：、呵：2,f．件的最小圆，从而获得弦EF的最小值．例4(2012年宁波中考题)如图6，4．利用“两点之间线段最短”求最值AABC中，LBAC=60。，LABC=45。，AB=2例5(2012年贵港中考题)如图8，MN，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径为o0的直径，点A、B是o0上的两点，过点画00分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段A作AC上MN于点c，过点曰作

7、BD上MN于EF长度的最小值为点，P为DC上的任意一点．若MN=20，ACA=8，BD=6，则PA+PB的最小值是——-．BDC图6解析由垂线段的性质可知，当AD为图8图9&ABC的边BC上的高时，直径AD最短(如图(下转第37页)·25·第6御初中数学教与学‘‘又‘．‘NG／／CD，MG／／AB，．G、Ⅳ分别为AC、c的中点，’．厶DFE=厶GNM=LGMN=厶AEF．．．GN是△ABC的中位线，1．GN：AB．GN／／AB二1同理可得伽=÷cD，伽／／cD．I二。AB=CD，．GN=GM，图4．厶GMN：厶GNM．变式二如图5，已知四边形ABCD中，

8、又’?G?．MG?CD．有AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，MN．厶DF